(7.3 Alaor) Uma força alinhada com o eixo x atua sobre um corpo de massa
. Tal força varia com a posição na forma
.
Se no ponto
o corpo tem velocidade
, qual é sua velocidade no ponto
?
Se no ponto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma força que age em um corpo ao longo do eixo x, e essa força varia com a posição de acordo com a fórmula
. Sabemos também que, quando
, a velocidade do corpo é
. A pergunta é: qual será a velocidade do corpo em uma posição qualquer
?
Aqui, estamos lidando com cinemática e dinâmica, especificamente com a relação entre força, trabalho e energia cinética. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de trabalho e energia e usar um pouco de cálculo para integrar a força sobre a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força
aplicada em um corpo causa uma mudança na energia cinética desse corpo. A relação entre trabalho e energia cinética é dada pelo teorema do trabalho e energia, que diz:
Onde
é a variação da energia cinética e
é o trabalho realizado pela força.
Passo 3
A energia cinética
de um corpo é dada por:
Então, a variação da energia cinética quando o corpo se move de
para uma posição qualquer
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o trabalho
realizado pela força
ao mover o corpo de
até a posição
. O trabalho de uma força variável é dado pela integral da força sobre a distância:
Substituindo
:
Passo 5
Aplicando o teorema do trabalho e energia:
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o
:
Agora, dividindo tudo por
:
Passo 6
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A velocidade do corpo na posição
é: