(7.3 Alaor) Uma força alinhada com o eixo x atua sobre um corpo de massa m. Tal força varia com a posição na forma F(x)=a+b x.
Se no ponto x=0 o corpo tem velocidade v0, qual é sua velocidade no ponto x ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma força que age em um corpo ao longo do eixo x, e essa força varia com a posição de acordo com a fórmula . Sabemos também que, quando , a velocidade do corpo é . A pergunta é: qual será a velocidade do corpo em uma posição qualquer ?
Aqui, estamos lidando com cinemática e dinâmica, especificamente com a relação entre força, trabalho e energia cinética. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de trabalho e energia e usar um pouco de cálculo para integrar a força sobre a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força De aplicada em um corpo causa uma mudança na energia cinética desse corpo. A relação entre trabalho e energia cinética é dada pelo teorema do trabalho e energia, que diz:
Onde é a variação da energia cinética e é o trabalho realizado pela força.

Passo 3

A energia cinética KE = 12 m v^2 de um corpo é dada por:
De
Então, a variação da energia cinética quando o corpo se move de para uma posição qualquer é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho W = integral0^x F(x') , dx' realizado pela força W = integral0^x (a + b x') , dx' = a x + 12 b x^2 ao mover o corpo de até a posição . O trabalho de uma força variável é dado pela integral da força sobre a distância:
Substituindo :

Passo 5

Aplicando o teorema do trabalho e energia:
12 m v(x)^2 - 12 m v0^2 = a x + 12 b x^2
Vamos isolar 12 m v(x)^2 = 12 m v0^2 + a x + 12 b x^2 :
m v(x)^2 = m v0^2 + 2 a x + b x^2
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o v(x)^2 = v0^2 + 2 a xm + b x^2m :
Agora, dividindo tudo por :

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar v(x) = raiz v0^2 + 2 a xm + b x^2m :

Resposta

A velocidade do corpo na posição v(x) = raiz, v0^2 + 2 a xm + b x^2m , é:

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