(15) Aplique a exigência da conservação de energia num elemento diferencial de uma aleta e encontre uma forma geral da equaçāo de energia térmica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para aplicar a conservação de energia em um elemento diferencial de uma aleta e encontrar uma forma geral da equação de energia térmica. Isso está dentro do conteúdo de Transferência de Calor, especificamente relacionado à condução de calor em aletas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia entra e sai desse pequeno pedaço da aleta e garantir que a energia total se mantenha constante.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar uma aleta com um comprimento e dividir ela em pequenos pedaços, ou elementos diferenciais, com comprimento . Vamos focar em um desses elementos que está entre as posições e .

Passo 3

Agora, vamos considerar o fluxo de calor que entra e sai desse elemento. O calor que entra pela posição é dado pela condução de calor, que segundo a Lei de Fourier é:
Aqui, é a condutividade térmica, é a área da seção transversal da aleta, e é a taxa de variação da temperatura ao longo do comprimento da aleta.

Passo 4

De maneira similar, o calor que sai pela posição é:
A diferença entre e representa a variação de energia dentro do elemento diferencial.

Passo 5

Além disso, temos a perda de calor para o ambiente, que geralmente é modelada pela condução ou convecção. Vamos supor que a perda de calor por unidade de comprimento seja , então a perda total de calor no elemento é:

Passo 6

Aplicando a Lei da Conservação de Energia, a energia que entra menos a energia que sai deve ser igual à energia perdida:
Substituindo as expressões que temos:

Passo 7

Dividindo ambos os lados por e tomando o limite quando tende a zero, obtemos as derivadas:
Isso nos leva à forma geral da equação de energia térmica para a aleta.

Resposta

A forma geral da equação de energia térmica para um elemento diferencial de uma aleta é:

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