(15) Para aletas com área de seçāo transversal uniforme, indique de forma resumida como chegar nas equaçōes que descrevem o perfil de distribuição de temperatura e permitem o cálculo da transferência de calor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre aletas com área de seção transversal uniforme, e queremos descobrir como chegar nas equações que descrevem a distribuição de temperatura nelas e como calcular a transferência de calor. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor e convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transferência de calor em uma aleta ocorre principalmente por condução ao longo da aleta e convecção da superfície para o ambiente. Como a seção transversal é uniforme, podemos simplificar a análise.

Passo 3

A equação básica que descreve a condução de calor em estado estacionário (quando a temperatura não muda com o tempo) é dada pela Lei de Fourier:
d^2Tdx^2 = hPkA(T - Tinfty)
Aqui:
  • é a temperatura na aleta,
  • é a posição ao longo da aleta,
  • é o coeficiente de convecção,
  • é o perímetro da seção transversal,
  • é a condutividade térmica,
  • é a área da seção transversal,
  • é a temperatura do ambiente.

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. Vamos assumir que a aleta tem comprimento T(x) = Tinfty + (Tb - Tinfty) cosh(m(L - x))cosh(mL) e que a temperatura na base ( ) é , enquanto na extremidade ( ) pode haver diferentes condições, como isolamento ou perda de calor por convecção.
A solução geral da equação é:
onde .

Passo 5

Com a distribuição de temperatura Q = raizhPkA(Tb - Tinfty) tanh(mL) conhecida, podemos calcular a taxa de transferência de calor total na aleta integrando a condução ao longo do comprimento ou usando a relação direta:

Resposta

A taxa de transferência de calor na aleta é dada por:
Q = raizhPkA cdot (Tb - Tinfty) cdot tanh(raizhPkA cdot L)

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