1. Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no período de um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num certo setor de 3 km de extensão?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma linha adutora de água que tem 60 km de comprimento. Nesse mês, aconteceram 30 vazamentos ao longo dessa linha. A pergunta é: qual a probabilidade de, em um setor específico de 3 km dessa linha, ocorrerem pelo menos 3 vazamentos durante o mês?
O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade, especificamente a distribuição de Poisson, que é ótima para contar o número de eventos que acontecem em um espaço ou tempo fixo quando esses eventos ocorrem de forma independente e com uma taxa média conhecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a taxa média de vazamentos no setor de 3 km. Sabemos que houve 30 vazamentos em 60 km, então a taxa por quilômetro é:
lambdatotal = 30 vazamentos60 km = 0,5 vazamentos por km
Para o setor de 3 km, a taxa média ( lambda = 0,5 vazamentos/km times 3 km = 1,5 vazamentos ) será:

Passo 3

Agora, vamos usar a distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de ocorrer pelo menos 3 vazamentos nesse setor. A fórmula da distribuição de Poisson ��:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente vazamentos.
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718).
  • é a taxa média de vazamentos (nós calculamos como 1,5).
  • é o fatorial de .

Passo 4

Queremos a probabilidade de pelo menos 3 vazamentos, ou seja, P(k >= 3) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)] . Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrerem 0, 1 ou 2 vazamentos:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente.

Passo 5

Calculando P(0) = e^-1,5 times 1,5^00! = e^-1,5 times 1 div 1 = e^-1,5 approx 0,2231 :
P(1) = e^-1,5 times 1,5^11! = e^-1,5 times 1,5 div 1 approx 0,3347
Calculando P(2) = e^-1,5 times 1,5^22! = e^-1,5 times 2,25 div 2 approx 0,2510 :
Calculando :

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades:
P(0) + P(1) + P(2) approx 0,2231 + 0,3347 + 0,2510 = 0,8088
Então, a probabilidade de ocorrer pelo menos 3 vazamentos é:
P(k >= 3) = 1 - 0,8088 = 0,1912

Resposta

A probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num setor de 3 km de extensão é aproximadamente 19,12%.

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