- Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no período de um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num certo setor de 3 km de extensão?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma linha adutora de água que tem 60 km de comprimento. Nesse mês, aconteceram 30 vazamentos ao longo dessa linha. A pergunta é: qual a probabilidade de, em um setor específico de 3 km dessa linha, ocorrerem pelo menos 3 vazamentos durante o mês?
O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade, especificamente a distribuição de Poisson, que é ótima para contar o número de eventos que acontecem em um espaço ou tempo fixo quando esses eventos ocorrem de forma independente e com uma taxa média conhecida.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a taxa média de vazamentos no setor de 3 km. Sabemos que houve 30 vazamentos em 60 km, então a taxa por quilômetro é:
Para o setor de 3 km, a taxa média (
) será:
Passo 3
Agora, vamos usar a distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de ocorrer pelo menos 3 vazamentos nesse setor. A fórmula da distribuição de Poisson ��:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente vazamentos. -
é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718). -
é a taxa média de vazamentos (nós calculamos como 1,5). -
é o fatorial de .
Passo 4
Queremos a probabilidade de pelo menos 3 vazamentos, ou seja,
. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrerem 0, 1 ou 2 vazamentos:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Agora, somamos essas probabilidades:
Então, a probabilidade de ocorrer pelo menos 3 vazamentos é:
Resposta
A probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num setor de 3 km de extensão é aproximadamente 19,12%.