1. Uma experiência mostra que a cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de numa instalação de:
    a) 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem?

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. A gente sabe que, em uma experiência, a cada 400 lâmpadas, 2 se queimam quando ligadas. Agora, queremos descobrir qual a probabilidade de que, em uma instalação com 600 lâmpadas, pelo menos 3 se queimem. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial para resolver isso, já que estamos lidando com eventos que têm dois resultados possíveis: a lâmpada queima ou não queima.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a probabilidade de uma única lâmpada queimar. Se 2 de 400 lâmpadas queimam, a probabilidade p = 2400 = 0,005 de uma lâmpada queimar é:

Passo 3

Como temos 600 lâmpadas, queremos a probabilidade de que mínimo 3 queimem. Isso é o complemento da probabilidade de no máximo 2 queimarem. Então, vamos calcular .

Passo 4

Vamos calcular P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k usando a fórmula da probabilidade binomial:
onde , é o número de lâmpadas que queimam, e é o coeficiente binomial.

Passo 5

Calculando para P(X = 0) = binom6000 (0,005)^0 (0,995)^600 = 1 times 1 times (0,995)^600 :
P(X = 0) approx 0,0498
Vamos calcular usando uma calculadora:

Passo 6

Calculando para P(X = 1) = binom6001 (0,005)^1 (0,995)^599 = 600 times 0,005 times (0,995)^599 :
P(X = 1) approx 600 times 0,005 times 0,0501 = 0,1503
Calculando:

Passo 7

Calculando para P(X = 2) = binom6002 (0,005)^2 (0,995)^598 = 600 times 5992 times 0,000025 times (0,995)^598 :
P(X = 2) approx 179700 times 0,000025 times 0,0502 = 0,22515
Calculando:

Passo 8

Agora, somamos as probabilidades para P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,0498 + 0,1503 + 0,22515 = 0,42525 :

Passo 9

Finalmente, a probabilidade de que mínimo 3 lâmpadas queimem é:
P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2) = 1 - 0,42525 = 0,57475

Resposta

A probabilidade de que, em uma instalação de 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem é aproximadamente 57,5%.

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