Achar a freqüência natural circular omegan, a freqüência circular amortecida omegad, e obter a expressão da resposta do sistema quando são imposto um deslocamento inicial x0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar três coisas num sistema oscilatório: a frequência natural circular omegan, a frequência circular amortecida omegad, e a expressão que descreve como o sistema responde quando a gente dá um empurrão inicial x0. A matéria que entra nessa é vibrações e sistemas oscilatórios com amortecimento. Vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais e como o amortecimento afeta o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência natural circular omegan. Essa é a frequência com que o sistema oscilaria se não tivesse nenhum amortecimento (sem resistência, sem atrito). A fórmula para a frequência natural depende da rigidez do sistema ( k) e da massa ( m). A fórmula é:
omegan = raizkm
Então, a frequência natural é a raiz quadrada da razão entre a rigidez e a massa.

Passo 3

Agora, vamos para a frequência circular amortecida omegad. Quando tem amortecimento, a frequência da oscilação diminui. O amortecimento é representado pelo coeficiente c. A frequência amortecida é dada por:
omegad = omegan raiz1 - (c2momegan)^2
Aqui, c2momegan é o coeficiente de amortecimento, e ele precisa ser menor que 1 para termos oscilação amortecida (se for igual a 1, é o caso crítico, e se for maior que 1, o sistema não oscila).

Passo 4

Por fim, vamos obter a expressão da resposta do sistema quando aplicamos um deslocamento inicial x0. Considerando que não há velocidade inicial ( v0 = 0), a solução para a posição x(t) do sistema é:
x(t) = x0 e^-c2m t cos(omegad t)
Aqui, o termo e^-c2m t representa a diminuição da amplitude das oscilações devido ao amortecimento, e o cos(omegad t) mostra a oscilação em torno da posição de equilíbrio com a frequência amortecida.

Resposta

A frequência natural circular é omegan = raizkm, a frequência circular amortecida é omegad = omegan raiz1 - (c2momegan)^2, e a resposta do sistema com um deslocamento inicial x0 é x(t) = x0 e^-c2m t cos(omegad t).

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