Achar a freqüência natural circular , a freqüência circular amortecida , e obter a expressão da resposta do sistema quando são imposto um deslocamento inicial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar três coisas num sistema oscilatório: a frequência natural circular , a frequência circular amortecida , e a expressão que descreve como o sistema responde quando a gente dá um empurrão inicial . A matéria que entra nessa é vibrações e sistemas oscilatórios com amortecimento. Vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais e como o amortecimento afeta o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência natural circular . Essa é a frequência com que o sistema oscilaria se não tivesse nenhum amortecimento (sem resistência, sem atrito). A fórmula para a frequência natural depende da rigidez do sistema ( ) e da massa ( ). A fórmula é:
Então, a frequência natural é a raiz quadrada da razão entre a rigidez e a massa.

Passo 3

Agora, vamos para a frequência circular amortecida . Quando tem amortecimento, a frequência da oscilação diminui. O amortecimento é representado pelo coeficiente . A frequência amortecida é dada por:
Aqui, é o coeficiente de amortecimento, e ele precisa ser menor que 1 para termos oscilação amortecida (se for igual a 1, é o caso crítico, e se for maior que 1, o sistema não oscila).

Passo 4

Por fim, vamos obter a expressão da resposta do sistema quando aplicamos um deslocamento inicial . Considerando que não há velocidade inicial ( ), a solução para a posição do sistema é:
Aqui, o termo representa a diminuição da amplitude das oscilações devido ao amortecimento, e o mostra a oscilação em torno da posição de equilíbrio com a frequência amortecida.

Resposta

A frequência natural circular é , a frequência circular amortecida é , e a resposta do sistema com um deslocamento inicial é .

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