Um sistema vibratório é formado de um peso de 10lb e uma mola de rigidez
e um amortecedor com coeficiente de amortecimento de c=0,071 lb-s/in. Achar: a) o fator de amortecimento b) o decremento logaritmo e c) a razão de duas amplitudes quaisquer.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema vibratório formado por um peso, uma mola e um amortecedor. A gente vai precisar entender sobre amortecimento em sistemas vibratórios para achar:
a) O fator de amortecimento
b) O decremento logarítmico
c) A razão de duas amplitudes quaisquer
b) O decremento logarítmico
c) A razão de duas amplitudes quaisquer
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Peso (F) = 10 lb
- Rigidez da mola (k) = 20 lb/in
- Coeficiente de amortecimento (c) = 0,071 lb·s/in
Agora, precisamos converter o peso em massa. Lembrando que F = m·g, então m = F/g. Vamos usar g = 32,174 ft/s² (aceleração da gravidade).
Mas como as unidades estão em libra (lb) e polegada (in), precisamos converter tudo para o mesmo sistema. Vamos converter o peso para massa:
Mas para simplificar, vamos trabalhar com as unidades dadas.
Passo 3
Vamos calcular a frequência natural não amortecida (ωₙ). A fórmula para isso é:
Mas como não temos m diretamente, e F = k \cdot x, podemos encontrar deslocamento estático (x) primeiro:
Agora, para encontrar a frequência natural, precisamos da massa m. Voltando:
Convertendo 0,5 in para pés:
Agora, m:
Agora, calculamos ωₙ:
Mas precisamos ajustar as unidades de k para serem compatíveis com m em ft:
Agora:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o fator de amortecimento (ζ). A fórmula para o fator de amortecimento é:
Já temos c, k e m:
Primeiro, vamos converter c para lb·s/ft:
Agora, calculamos o denominador:
Então:
Passo 5
Próximo, vamos calcular o decremento logarítmico (δ). A fórmula para δ é:
Mas também podemos relacionar com o fator de amortecimento usando:
Usando ζ ≈ 0,171:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar a razão de duas amplitudes quaisquer (A₁/A₂). Usando o decremento logarítmico:
Com δ ≈ 0,552:
Resposta
a) O fator de amortecimento é aproximadamente 0,171.
b) O decremento logarítmico é aproximadamente 0,552.
c) A razão de duas amplitudes quaisquer é aproximadamente 1,737.
b) O decremento logarítmico é aproximadamente 0,552.
c) A razão de duas amplitudes quaisquer é aproximadamente 1,737.