Um sistema vibratório é formado de um peso de 10lb e uma mola de rigidez k=20 lb / in e um amortecedor com coeficiente de amortecimento de c=0,071 lb-s/in. Achar: a) o fator de amortecimento b) o decremento logaritmo e c) a razão de duas amplitudes quaisquer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema vibratório formado por um peso, uma mola e um amortecedor. A gente vai precisar entender sobre amortecimento em sistemas vibratórios para achar:
a) O fator de amortecimento
b) O decremento logarítmico
c) A razão de duas amplitudes quaisquer
Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Peso (F) = 10 lb
  • Rigidez da mola (k) = 20 lb/in
  • Coeficiente de amortecimento (c) = 0,071 lb·s/in
Agora, precisamos converter o peso em massa. Lembrando que F = m·g, então m = F/g. Vamos usar g = 32,174 ft/s² (aceleração da gravidade).
Mas como as unidades estão em libra (lb) e polegada (in), precisamos converter tudo para o mesmo sistema. Vamos converter o peso para massa:
m = Fg = 10 , lb32,174 , ft/s² ²
Mas para simplificar, vamos trabalhar com as unidades dadas.

Passo 3

Vamos calcular a frequência natural não amortecida (ωₙ). A fórmula para isso é:
omegan = raizkm
Mas como não temos m diretamente, e F = k \cdot x, podemos encontrar deslocamento estático (x) primeiro:
x = Fk = 10 , lb20 , lb/in = 0,5 , in
Agora, para encontrar a frequência natural, precisamos da massa m. Voltando:
m = Fg = 10 , lb32,174 , ft/s² ²
Convertendo 0,5 in para pés:
0,5 , in = 0,512 , ft = 0,0417 , ft
Agora, m:
m = 10 , lb32,174 , ft/s² approx 0,3104 , lb·s²/ft ²²
Agora, calculamos ωₙ:
omegan = raizkm
Mas precisamos ajustar as unidades de k para serem compatíveis com m em ft:
k = 20 , lb/in = 20 times 12 = 240 , lb/ft
Agora:
omegan = raiz240 , lb/ft0,3104 , lb·s²/ft approx raiz774,19 , s^-2 approx 27,82 , rad/s ²

Passo 4

Agora, vamos encontrar o fator de amortecimento (ζ). A fórmula para o fator de amortecimento é:
zeta = c2 raizk m
Já temos c, k e m:
zeta = 0,071 , lb·s/in2 raiz20 , lb/in times 0,3104 , lb·s²/ft ²
Primeiro, vamos converter c para lb·s/ft:
c = 0,071 , lb·s/in times 12 , in/ft = 0,852 , lb·s/ft
Agora, calculamos o denominador:
2 raiz20 times 0,3104 = 2 raiz6,208 approx 2 times 2,492 approx 4,984
Então:
zeta = 0,8524,984 approx 0,171

Passo 5

Próximo, vamos calcular o decremento logarítmico (δ). A fórmula para δ é:
de
Mas também podemos relacionar com o fator de amortecimento usando:
de
Usando ζ ≈ 0,171:
de
Calculando o denominador:
raiz1 - 0,029 = raiz0,971 approx 0,985
Então:
de

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar a razão de duas amplitudes quaisquer (A₁/A₂). Usando o decremento logarítmico:
A1A2 = e^de
Com δ ≈ 0,552:
A1A2 = e^0,552 approx 1,737

Resposta

a) O fator de amortecimento é aproximadamente 0,171.
b) O decremento logarítmico é aproximadamente 0,552.
c) A razão de duas amplitudes quaisquer é aproximadamente 1,737.

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