Ache v(t) e x(t) para uma partícula de massa m que parte de x0=0 e velocidade v0 sujeita a uma força
F=mp b v^n
com n neq 1. Ache o tempo gasto para a partícula parar, a distância necessária para parar e verifique as observações do último parágrafo da seção 2.4 do livro texto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma partícula de massa que começa na posição com uma velocidade inicial . Ela está sujeita a uma força , onde . Nosso objetivo é encontrar as funções e que descrevem a velocidade e a posição da partícula ao longo do tempo. Além disso, queremos calcular o tempo que a partícula leva para parar e a distância que ela percorre até parar. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, e técnicas de cálculo diferencial para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante F = m a sobre um objeto é igual à massa a = dvdt vezes a aceleração F = m dvdt dele:
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos reescrever a segunda lei de Newton como:

Passo 3

Dado que a força mp b v^n = m dvdt é , substituímos na equação:
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar .

Passo 4

Primeiro, separamos as variáveis dvdt = mp bm v^n e dvv^n = mp bm dt . Vamos rearranjar a equação para:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar integral 1v^n dv = v^1 - n1 - n + C . A integral de integral mp bm dt = mp bm t + C depende de :
Para :
E a integral do lado direito é:

Passo 6

Igualando as integrais:
v^1 - n1 - n = mp bm t + C
Vamos resolver para v0^1 - n1 - n = C usando a condição inicial v^1 - n1 - n = mp bm t + v0^1 - n1 - n :
Então, temos:

Passo 7

Simplificando a equação:
v^1 - n = v0^1 - n pm (n - 1) bm t
Resolvendo para v(t) = [ v0^1 - n pm (n - 1) bm t ]^11 - n :

Passo 8

Agora que temos x(t) = integral v(t) dt + C , vamos encontrar integrando a velocidade em relação ao tempo:
Como , a constante .

Passo 9

Substituindo x(t) = integral [ v0^1 - n pm (n - 1) bm t ]^11 - n dt :
x(t) = mb (n - 1) [ v0^1 - n pm (n - 1) bm t ]^n1 - n + C
Essa integral pode ser resolvida utilizando uma substituição adequada, resultando em:
Com , então .

Passo 10

Para encontrar o tempo [ v0^1 - n pm (n - 1) bm tparar ]^11 - n = 0 que a partícula leva para parar, observamos que v0^1 - n pm (n - 1) bm tparar = 0 :
tparar = pm mb (n - 1) v0^1 - n
Isso ocorre quando:
Resolvendo para :

Passo 11

Agora, vamos calcular a distância xparar = mb (n - 1) [ v0^1 - n pm (n - 1) bm tparar ]^n1 - n percorrida até a parada, substituindo xparar = mb (n - 1) [ v0^1 - n pm (n - 1) bm cdot pm mb (n - 1) v0^1 - n ]^n1 - n = mb (n - 1) [ 2 v0^1 - n ]^n1 - n em xparar = mb (n - 1) ( 2^n1 - n v0^n(1 - n)1 - n ) = mb (n - 1) cdot 2^- nn - 1 v0^n :
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

Então, as soluções para o movimento da partícula são:
v(t) = [ v0^1 - n pm (n - 1) bm t ]^11 - n
x(t) = mb (n - 1) [ v0^1 - n pm (n - 1) bm t ]^n1 - n
O tempo necessário para a partícula parar é:
tparar = pm mb (n - 1) v0^1 - n
E a distância percorrida até a parada é:
xparar = mb (n - 1) cdot 2^- nn - 1 v0^n

Exercícios relacionados