Ache
e
para uma partícula de massa
que parte de
e velocidade
sujeita a uma força
com
. Ache o tempo gasto para a partícula parar, a distância necessária para parar e verifique as observações do último parágrafo da seção 2.4 do livro texto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma partícula de massa
que começa na posição
com uma velocidade inicial
. Ela está sujeita a uma força
, onde
. Nosso objetivo é encontrar as funções
e
que descrevem a velocidade e a posição da partícula ao longo do tempo. Além disso, queremos calcular o tempo que a partícula leva para parar e a distância que ela percorre até parar. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, e técnicas de cálculo diferencial para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante
sobre um objeto é igual à massa
vezes a aceleração
dele:
Sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos reescrever a segunda lei de Newton como:
Passo 3
Dado que a força
é
, substituímos na equação:
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar
.
Passo 4
Primeiro, separamos as variáveis
e
. Vamos rearranjar a equação para:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
. A integral de
depende de
:
Para
:
E a integral do lado direito é:
Passo 6
Igualando as integrais:
Vamos resolver para
usando a condição inicial
:
Então, temos:
Passo 7
Simplificando a equação:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos
, vamos encontrar
integrando a velocidade em relação ao tempo:
Como
, a constante
.
Passo 9
Substituindo
:
Essa integral pode ser resolvida utilizando uma substituição adequada, resultando em:
Com
, então
.
Passo 10
Para encontrar o tempo
que a partícula leva para parar, observamos que
:
Isso ocorre quando:
Resolvendo para
:
Passo 11
Agora, vamos calcular a distância
percorrida até a parada, substituindo
em
:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
Então, as soluções para o movimento da partícula são:
O tempo necessário para a partícula parar é:
E a distância percorrida até a parada é:
Exercícios relacionados
O número de algarismo significativos da medida
é
(b) ( ) 14
(b) ( ) 14
A embalagem de uma fita adesiva traz a seguinte especificação:
, significando que tem
de largura e 10 m de comprimento. A especificação correta deveria ser:
(d) ( )
(d) ( )
(UFU-MG) Uma lata contém 18,2 litros de água. Se você despejar mais 0,2360 litros, o volume terá o número de algarismos significativos igual a:
© ( ) quatro
© ( ) quatro
Efetuando-se a multiplicação: 25,4 cmtimes 4 cm , encontra-se:
(d) ( )
(d) ( )