Ache e para uma partícula de massa que parte de e velocidade sujeita a uma força
com . Ache o tempo gasto para a partícula parar, a distância necessária para parar e verifique as observações do último parágrafo da seção 2.4 do livro texto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma partícula de massa que começa na posição com uma velocidade inicial . Ela está sujeita a uma força , onde . Nosso objetivo é encontrar as funções e que descrevem a velocidade e a posição da partícula ao longo do tempo. Além disso, queremos calcular o tempo que a partícula leva para parar e a distância que ela percorre até parar. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, e técnicas de cálculo diferencial para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa vezes a aceleração dele:
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos reescrever a segunda lei de Newton como:

Passo 3

Dado que a força é , substituímos na equação:
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar .

Passo 4

Primeiro, separamos as variáveis e . Vamos rearranjar a equação para:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar . A integral de depende de :
Para :
E a integral do lado direito é:

Passo 6

Igualando as integrais:
Vamos resolver para usando a condição inicial :
Então, temos:

Passo 7

Simplificando a equação:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos , vamos encontrar integrando a velocidade em relação ao tempo:
Como , a constante .

Passo 9

Substituindo :
Essa integral pode ser resolvida utilizando uma substituição adequada, resultando em:
Com , então .

Passo 10

Para encontrar o tempo que a partícula leva para parar, observamos que :
Isso ocorre quando:
Resolvendo para :

Passo 11

Agora, vamos calcular a distância percorrida até a parada, substituindo em :
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

Então, as soluções para o movimento da partícula são:
O tempo necessário para a partícula parar é:
E a distância percorrida até a parada é:

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