O que acontece nos logaritmos quando se tem ln 0+ e por que o resultado é -∞ (menos infinito)?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A questão é sobre logaritmos, especificamente o que acontece quando calculamos o ln de um número que está se aproximando de zero pela direita (0+). Vamos precisar entender como a função logaritmo natural se comporta perto de zero e usar conceitos de limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o logaritmo natural, representado por ln(x). O ln(x) é a função inversa da função exponencial $ e^x $. Isso significa que se $ y = \ln(x) $, então $ e^y = x $.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que significa calcular $ \ln(0+) $. O “0+” indica que estamos nos aproximando de zero a partir de valores positivos. Ou seja, estamos olhando para valores de x que são muito pequenos, mas ainda positivos, como 0,1; 0,01; 0,001; e assim por diante.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de $ \ln(x) $ conforme x se aproxima de zero pela direita. Sabemos que para valores de x entre 0 e 1, o ln(x) é negativo, e quanto mais próximo de zero, mais negativo ele se torna.
Por exemplo:
  • $ \ln(1) = 0 $
  • $ \ln(0,1) \approx -2,3026 $
  • $ \ln(0,01) \approx -4,6052 $
  • $ \ln(0,001) \approx -6,9078 $
Percebemos que à medida que x se aproxima de zero, o valor de ln(x) diminui sem limite, ficando cada vez mais negativo.

Passo 5

Para formalizar isso, usamos o conceito de limite em cálculo. Dizemos que:
limx to 0^+ ln(x) = -infty
Isso significa que à medida que x se aproxima de zero pela direita, o valor de ln(x) tende a menos infinito.

Passo 6

Mas por que isso acontece? Pense na curva da função $ \ln(x) $. Ela desce continuamente à medida que x se aproxima de zero, sem nunca realmente alcançar um valor mínimo fixo. Não há um número real que possamos atribuir para representar esse “desce para sempre”, por isso usamos o conceito de menos infinito.

Resposta

Quando calculamos $ \ln(0+) $, o resultado é $ -\infty $ porque, à medida que x se aproxima de zero pela direita, o logaritmo natural de x diminui sem limite, tendendo a menos infinito.

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