Admitindo que o cilindro do exercício anterior esteja submetido a uma força de tração P e que sua seção transversal tenha área A, demonstre que:
sigmaalpha=PA cos ^2 alpha e taualpha=P2 A sin 2 alpha
Em seguida trace os gráficos de sigmaalpha em função de alpha e de taualpha em função de alpha, para 0 <= alpha <= 90^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve um cilindro submetido a uma força de tração e com área de seção transversal . A gente precisa demonstrar duas equações que relacionam o esforço normal e o esforço cortante com o ângulo . Depois, a gente também vai desenhar os gráficos dessas relações para entre 0 e 90 graus. Vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente de tensões em cilindros sujeitos a forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e . São as componentes das tensões na direção . Quando aplicamos uma força no cilindro, ela gera uma tensão normal na direção da força e uma tensão cortante nas direções perpendiculares.

Passo 3

A tensão normal sigma = PA é dada por:
Isso representa a força por unidade de área na seção transversal do cilindro.

Passo 4

Agora, para encontrar e , precisamos decompor a tensão normal e a tensão cortante nas direções do ângulo . Usamos trigonometria para isso.

Passo 5

A tensão normal na direção sigmaalpha = sigma cos^2 alpha é:
sigmaalpha = PA cos^2 alpha
Substituindo , temos:

Passo 6

Para a tensão cortante taualpha = sigma sin alpha cos alpha , usamos a seguinte relação trigonométrica:
taualpha = PA sin alpha cos alpha
Substituindo :

Passo 7

Usando a identidade trigonométrica taualpha = P2A sin 2alpha , podemos reescrever como:

Passo 8

Então, demonstramos que:
sigmaalpha = PA cos^2 alpha e taualpha = P2A sin 2alpha

Passo 9

Agora, vamos pensar nos gráficos dessas funções para variando de 0 a 90 graus.
  • Gráfico de vs. : Como diminui de 1 para 0 quando vai de 0 a 90 graus, o gráfico será uma curva decrescente começando em e terminando em 0.
  • Gráfico de vs. : A função começa em 0, atinge seu máximo em e volta a 0 em . Portanto, o gráfico de terá uma forma de sino, com pico em .

Resposta

Demonstramos que:
sigmaalpha = PA cos^2 alpha e taualpha = P2A sin 2alpha
Além disso, os gráficos de versus mostram uma curva decrescente de a 0 conforme aumenta de 0 a 90 graus, e o gráfico de versus apresenta uma curva em forma de sino, atingindo o máximo em .

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