Admitindo que o cilindro do exercício anterior esteja submetido a uma força de tração
e que sua seção transversal tenha área
, demonstre que:
Em seguida trace os gráficos de
em função de
e de
em função de
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve um cilindro submetido a uma força de tração
e com área de seção transversal
. A gente precisa demonstrar duas equações que relacionam o esforço normal
e o esforço cortante
com o ângulo
. Depois, a gente também vai desenhar os gráficos dessas relações para
entre 0 e 90 graus. Vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente de tensões em cilindros sujeitos a forças.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
. São as componentes das tensões na direção
. Quando aplicamos uma força
no cilindro, ela gera uma tensão normal
na direção da força e uma tensão cortante
nas direções perpendiculares.
Passo 3
A tensão normal
é dada por:
Isso representa a força por unidade de área na seção transversal do cilindro.
Passo 4
Agora, para encontrar
e
, precisamos decompor a tensão normal e a tensão cortante nas direções do ângulo
. Usamos trigonometria para isso.
Passo 5
A tensão normal na direção
é:
Substituindo
, temos:
Passo 6
Para a tensão cortante
, usamos a seguinte relação trigonométrica:
Substituindo
:
Passo 7
Usando a identidade trigonométrica
, podemos reescrever
como:
Passo 8
Então, demonstramos que:
Passo 9
Agora, vamos pensar nos gráficos dessas funções para
variando de 0 a 90 graus.
-
Gráfico de
vs. : Como diminui de 1 para 0 quando vai de 0 a 90 graus, o gráfico será uma curva decrescente começando em e terminando em 0. -
Gráfico de
vs. : A função começa em 0, atinge seu máximo em e volta a 0 em . Portanto, o gráfico de terá uma forma de sino, com pico em .
Resposta
Demonstramos que:
Além disso, os gráficos de
versus
mostram uma curva decrescente de
a 0 conforme
aumenta de 0 a 90 graus, e o gráfico de
versus
apresenta uma curva em forma de sino, atingindo o máximo em
.