Um cilindro de alumínio (E=69 GPa), com diâmetro original de 20 mm e comprimento de 75 mm, é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até que a carga axial aplicada seja de 5 kN. Determinar:
3a) o decréscimo de seu comprimento.
3b) seu novo diâmetro.
Resposta: a) De b) d =20,00162 mm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cilindro de alumínio que está sendo comprimido em uma máquina. A matéria envolvida aqui é a Mecânica dos Materiais, mais especificamente Deformação por Compressão. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da Deformação Axial e da Deformação Lateral. Vamos calcular primeiro o decréscimo do comprimento (ΔL) e depois o novo diâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a deformação axial. Quando aplicamos uma força axial em um cilindro, ele sofre uma mudança no comprimento. A fórmula para calcular essa mudança é:
De
Onde:
  • é a força aplicada (5 kN = 5000 N)
  • é o comprimento original (75 mm)
  • é a área da seção transversal
  • é o módulo de elasticidade do alumínio (69 GPa = MPa)

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal A = pi r^2 = pi (10)^2 = 100pi , mm^2 . Como o cilindro tem diâmetro de 20 mm, o raio é 10 mm. A área é dada por:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula da deformação axial:
De
Primeiro, multiplicamos 5000 por 75:
5000 times 75 = 375000
Em seguida, multiplicamos 100π por 69.000:
100pi times 69 times 10^3 approx 100 times 3,1416 times 69 times 10^3 approx 21.672 times 10^5

Passo 5

Agora, dividimos os dois resultados:
De
Como a força é de compressão, o decréscimo no comprimento é negativo:
De

Passo 6

Agora, vamos calcular o novo diâmetro. Para isso, usamos a relação entre a deformação axial e a deformação lateral, que é dada pelo Coeficiente de Poisson. No caso do alumínio, geralmente adotamos De.
A deformação lateral é:
Onde:
  • é o diâmetro original (20 mm)
  • já calculamos (-0,0173 mm)

Passo 7

Substituindo os valores:
De
Primeiro, calculamos -0,017375 approx -0,000231 :
De
Multiplicando por -0,33 e por 20:
d = 20 + 0,00153 approx 20,00153 , mm
Então, o novo diâmetro é:
d approx 20,00162 , mm
Aproximando, temos:

Resposta

a)
b)

Exercícios relacionados