A água entra em um tanque cônico a uma taxa de
. O tanque tem o vértice voltado para baixo e altura de 10 m e o raio da base é de 5 m . A que taxa o nível da água estará subindo quando a profundidade for de 6 m ?
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos um tanque em forma de cone onde a água está entrando a uma taxa de
. As dimensões do tanque são uma altura de 10 metros e um raio de base de 5 metros. Queremos descobrir a que velocidade o nível da água está subindo quando a profundidade da água for de 6 metros.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados a cones e cálculo de taxas de variação. Vamos aplicar a fórmula do volume de um cone e depois relacionar as taxas de variação usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, lembramos a fórmula do volume de um cone:
Aqui,
é o volume,
é o raio da base e
é a altura do cone.
Passo 3
Como o tanque é cônico e a água forma um cone menor dentro dele, podemos usar a propriedade de semelhança de triângulos para relacionar o raio da água (
) com a altura da água (
).
Sabemos que o raio da base do tanque completo é 5 m e a altura é 10 m. Então, temos a relação:
Portanto, o raio da água é:
Passo 4
Substituímos
na fórmula do volume:
Então, o volume da água no tanque em função da altura
é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura da água em relação ao tempo (
) quando
. Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é
.
Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
Passo 6
Substituímos
e
na equação:
Simplificando:
Passo 7
Isolamos
:
Resposta
A taxa à qual o nível da água está subindo quando a profundidade é de 6 metros é
.
Exercícios relacionados
Determine: A taxa média de variação do volume de água durante as 5 primeiras horas;
Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de
, determine a taxa de variação da área da base em relação ao tempo, quando a altura é 4 m .
Determine: Quantos litros de água saíram do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento?
Determine: Quantos litros de água têm no reservatório antes dele começar ser esvaziado?