A água entra em um tanque cônico a uma taxa de 9 m^3/min. O tanque tem o vértice voltado para baixo e altura de 10 m e o raio da base é de 5 m . A que taxa o nível da água estará subindo quando a profundidade for de 6 m ?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos um tanque em forma de cone onde a água está entrando a uma taxa de . As dimensões do tanque são uma altura de 10 metros e um raio de base de 5 metros. Queremos descobrir a que velocidade o nível da água está subindo quando a profundidade da água for de 6 metros.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados a cones e cálculo de taxas de variação. Vamos aplicar a fórmula do volume de um cone e depois relacionar as taxas de variação usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula do volume de um cone:
Aqui, é o volume, é o raio da base e é a altura do cone.

Passo 3

Como o tanque é cônico e a água forma um cone menor dentro dele, podemos usar a propriedade de semelhança de triângulos para relacionar o raio da água ( ) com a altura da água ( ).
Sabemos que o raio da base do tanque completo é 5 m e a altura é 10 m. Então, temos a relação:
Portanto, o raio da água é:

Passo 4

Substituímos na fórmula do volume:
Então, o volume da água no tanque em função da altura é:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura da água em relação ao tempo ( ) quando . Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é .
Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:

Passo 6

Substituímos e na equação:
Simplificando:

Passo 7

Isolamos :

Resposta

A taxa à qual o nível da água está subindo quando a profundidade é de 6 metros é .

Exercícios relacionados

Determine: A taxa média de variação do volume de água durante as 5 primeiras horas;
Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m^3/h, determine a taxa de variação da área da base em relação ao tempo, quando a altura é 4 m .
Determine: Quantos litros de água saíram do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento?
Determine: Quantos litros de água têm no reservatório antes dele começar ser esvaziado?