Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m^3/h, determine a taxa de variação da área da base em relação ao tempo, quando a altura é 4 m .

Passo 1

Então, a gente tem um monte de areia que forma um cone, onde a altura é igual ao raio da base. O volume desse cone está aumentando a uma taxa de . Nosso objetivo é descobrir a que velocidade a área da base está mudando quando a altura é 4 metros. Vamos usar conceitos de geometria de cones e cálculo, especialmente taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
Como a altura é igual ao raio , podemos substituir por :

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a taxa de variação do volume com a taxa de variação do raio . Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:

Passo 4

Sabemos que e queremos encontrar , onde é a área da base. Primeiro, vamos achar :

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Derivando a fórmula da área em relação ao tempo:
Substituímos pela expressão que encontramos:

Passo 6

Quando a altura , como , temos . Substituindo na expressão:

Resposta

A taxa de variação da área da base é .

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