Água escoa através de um tubo grande cujo diâmetro é 2,0 m. A velocidade da água em relação ao tanque é V=8-r^2(m / s). Qual a vazão no tubo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre fluxo de água em um tubo. A gente precisa entender como calcular a vazão, que é a quantidade de água que passa pelo tubo por segundo. Para isso, vamos usar conceitos de área e velocidade, aplicando um pouco de cálculo se precisar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos: o diâmetro do tubo é de . A velocidade da água varia com a distância do centro do tubo, dada por .

Passo 3

A vazão ( Q = integralA V(r) , dA ) é calculada multiplicando a velocidade pela área por onde a água passa. Como a velocidade varia com , precisamos integrar a velocidade sobre toda a área do tubo. A fórmula fica:

Passo 4

Vamos considerar o tubo como um círculo de raio Q = integral0^1 (8 - r^2) times 2pi r , dr (porque o diâmetro é 2 m). Em coordenadas polares, a área diferencial é . Então, a integração fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Q = 2pi integral0^1 (8r - r^3) , dr
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando:
integral0^1 8r , dr = 8 times r^22 g|0^1 = 4 times (1^2 - 0) = 4
integral0^1 r^3 , dr = r^44 g|0^1 = 14 - 0 = 14

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da vazão:
Q = 2pi (4 - 14) = 2pi times 154 = 30pi4 = 15pi2

Passo 8

Calculando o valor numérico:
Q approx 15 times 3,14162 approx 23,56 , m^3/s

Resposta

A vazão no tubo é aproximadamente .

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