Água escoa através de um tubo grande cujo diâmetro é . A velocidade da água em relação ao tanque é . Qual a vazão no tubo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre fluxo de água em um tubo. A gente precisa entender como calcular a vazão, que é a quantidade de água que passa pelo tubo por segundo. Para isso, vamos usar conceitos de área e velocidade, aplicando um pouco de cálculo se precisar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos: o diâmetro do tubo é de . A velocidade da água varia com a distância do centro do tubo, dada por .
Passo 3
A vazão () é calculada multiplicando a velocidade pela área por onde a água passa. Como a velocidade varia com , precisamos integrar a velocidade sobre toda a área do tubo. A fórmula fica:
Passo 4
Vamos considerar o tubo como um círculo de raio (porque o diâmetro é 2 m). Em coordenadas polares, a área diferencial é . Então, a integração fica: