Água escoa através de um tubo grande cujo diâmetro é 2,0 m. A velocidade da água em relação ao tanque é V=8-r^2(m / s). Qual a vazão no tubo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre fluxo de água em um tubo. A gente precisa entender como calcular a vazão, que é a quantidade de água que passa pelo tubo por segundo. Para isso, vamos usar conceitos de área e velocidade, aplicando um pouco de cálculo se precisar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos: o diâmetro do tubo é de . A velocidade da água varia com a distância do centro do tubo, dada por .

Passo 3

A vazão ( Q = integralA V(r) , dA ) é calculada multiplicando a velocidade pela área por onde a água passa. Como a velocidade varia com , precisamos integrar a velocidade sobre toda a área do tubo. A fórmula fica:

Passo 4

Vamos considerar o tubo como um círculo de raio Q = integral0^1 (8 - r^2) times 2pi r , dr (porque o diâmetro é 2 m). Em coordenadas polares, a área diferencial é . Então, a integração fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Q = 2pi integral0^1 (8r - r^3) , dr
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando:
integral0^1 8r , dr = 8 times r^22 g|0^1 = 4 times (1^2 - 0) = 4
integral0^1 r^3 , dr = r^44 g|0^1 = 14 - 0 = 14

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da vazão:
Q = 2pi (4 - 14) = 2pi times 154 = 30pi4 = 15pi2

Passo 8

Calculando o valor numérico:
Q approx 15 times 3,14162 approx 23,56 , m^3/s

Resposta

A vazão no tubo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Explique resumidamente os seguintes conceitos:
a) linhas de corrente
h) escoamento uniforme
b) linha de emissão ou raia
i) superfície de controle
c) tubos de corrente
j) sistema
d) escoamento permanente
k) volume de controle
e) escoamento transitório
l) camada limite
f) escoamento laminar
m) escoamento turbulento
g) escoamento fluvial.
n) escoamento torrencial
Explique resumidamente o significado de:
a) Orifício de parede delgada
b) Orifício de parede espessa
c) Bocal
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