A água escoa por cima da crista de uma barragem. Admitindo como nula a velocidade da água na superfície livre, calcular: (a) a velocidade do líquido no ponto 1. RESP: v1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica dos fluidos onde a água está passando por cima da crista de uma barragem. A velocidade da água na superfície livre está sendo considerada nula, ou seja, é zero. Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade da água no ponto 1, que está logo abaixo dessa superfície. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Bernoulli, que é uma ferramenta poderosa para analisar o fluxo de fluidos incompressíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação de Bernoulli. Ela basicamente nos diz que a soma da energia por unidade de volume de um fluido em escoamento é constante ao longo de uma linha de corrente, desde que não haja perdas por atrito ou outras forças externas. A fórmula da Equação de Bernoulli é:
P + 12 rho v^2 + rho gh = constante
Onde:
  • $ P $ é a pressão do fluido,
  • $ \rho $ é a densidade do fluido,
  • $ v $ é a velocidade do fluido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ h $ é a altura em relação a uma referência.

Passo 3

Vamos aplicar essa equação entre dois pontos: a superfície livre (ponto 2) e o ponto 1 que a gente quer encontrar a velocidade. No ponto 2, sabemos que a velocidade $ v_2 $ é zero e a pressão é a pressão atmosférica $ P_{atm} $. No ponto 1, a pressão também é $ P_{atm} $ (porque está exposta à atmosfera), mas queremos encontrar $ v_1 $.

Passo 4

Substituindo na Equação de Bernoulli para os dois pontos, temos:
Para o ponto 2 (superfície livre):
Patm + 12 rho (0)^2 + rho g h2 = constante
Para o ponto 1:
Patm + 12 rho v1^2 + rho g h1 = constante
Como as constantes são iguais, podemos igualar as duas expressões:
Patm + rho g h2 = Patm + 12 rho v1^2 + rho g h1

Passo 5

Vamos simplificar a equação cancelando $ P_{atm} $ dos dois lados e rearranjando para resolver $ v_1 $:
Patm
Subtraindo $ \rho g h_1 $ de ambos os lados:
v1
Dividindo ambos os lados por $ \frac{1}{2} \rho $:
rho g h2 = 12 rho v1^2 + rho g h1

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ v_1 $:
v1

Resposta

A velocidade do líquido no ponto 1 é dada por:
v1 = raiz2g(h2 - h1)

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