A água escoa por cima da crista de uma barragem. Admitindo como nula a velocidade da água na superfície livre, calcular: (a) a velocidade do líquido no ponto 1. RESP:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica dos fluidos onde a água está passando por cima da crista de uma barragem. A velocidade da água na superfície livre está sendo considerada nula, ou seja, é zero. Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade da água no ponto 1, que está logo abaixo dessa superfície. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Bernoulli, que é uma ferramenta poderosa para analisar o fluxo de fluidos incompressíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Equação de Bernoulli. Ela basicamente nos diz que a soma da energia por unidade de volume de um fluido em escoamento é constante ao longo de uma linha de corrente, desde que não haja perdas por atrito ou outras forças externas. A fórmula da Equação de Bernoulli é:
Onde:
- $ P $ é a pressão do fluido,
- $ \rho $ é a densidade do fluido,
- $ v $ é a velocidade do fluido,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura em relação a uma referência.
Passo 3
Vamos aplicar essa equação entre dois pontos: a superfície livre (ponto 2) e o ponto 1 que a gente quer encontrar a velocidade. No ponto 2, sabemos que a velocidade $ v_2 $ é zero e a pressão é a pressão atmosférica $ P_{atm} $. No ponto 1, a pressão também é $ P_{atm} $ (porque está exposta à atmosfera), mas queremos encontrar $ v_1 $.
Passo 4
Substituindo na Equação de Bernoulli para os dois pontos, temos:
Para o ponto 2 (superfície livre):
Para o ponto 1:
Como as constantes são iguais, podemos igualar as duas expressões:
Passo 5
Vamos simplificar a equação cancelando $ P_{atm} $ dos dois lados e rearranjando para resolver $ v_1 $:
Subtraindo $ \rho g h_1 $ de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por $ \frac{1}{2} \rho $:
Passo 6
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ v_1 $:
Resposta
A velocidade do líquido no ponto 1 é dada por: