Uma lata de cerveja inicialmente a 20^circ C é colocada num congelador com ar a 0^circ C. Quanto tempo leva para resfriar a lata de cerveja para 7^circ C ?. Considere as propriedades da cerveja as mesmas da água. A lata possui 20 cm de altura e 7 cm de diâmetro. O coeficiente de transferência de calor do ar para a lata foi estimado em 4,73 W / m^2 ^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais informações temos. A gente tem uma lata de cerveja que começa a 20°C e coloca no congelador que está a 0°C. Queremos saber quanto tempo leva para a cerveja esfriar até 7°C. Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a calcular como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em contato com um ambiente com temperatura diferente. Vamos precisar das propriedades da lata, como altura e diâmetro, além do coeficiente de transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área superficial da lata, que é importante para saber quão fácil o calor sai da lata para o ambiente. A lata é um cilindro, então vamos usar a fórmula da área de um cilindro:
A = 2pi r (r + h)
Onde:
  • $ r $ é o raio
  • $ h $ é a altura
A lata tem 7 cm de diâmetro, então o raio $ r = \frac{7}{2} = 3,5 $ cm = 0,035 m. A altura $ h = 20 $ cm = 0,2 m.
Vamos calcular:
r ²

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa da cerveja na lata. Como a cerveja tem propriedades iguais às da água, podemos usar a densidade da água, que é $ 1000 , kg/m³ $.
Primeiro, calculamos o volume da lata:
1000 , kg/m³ ²²³
Agora, a massa $ m $:
V = pi r² h = pi times (0,035)² times 0,2 approx 3,1416 times 0,001225 times 0,2 approx 0,00077 , m³

Passo 4

Vamos determinar o coeficiente de resfriamento $ k $ usando a fórmula:
k
Onde:
  • $ h = 4,73 , W/m²°C $ (dado)
  • $ A = 0,0519 , m² $ (calculado)
  • $ m = 0,77 , kg $ (calculado)
  • $ c = 4186 , J/kg°C $ (calor específico da água)
Substituindo os valores:
k = h times Am times c

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei do Resfriamento de Newton, que nos diz:
T(t) = Tamb + (Tinicial - Tamb) times e^-kt
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ T(t) = 7°C $. Sabemos que:
  • $ T_{amb} = 0°C $
  • $ T_{inicial} = 20°C $
Então:
t
T(t) = 7°C
Agora, vamos resolver para $ t $:
Tamb = 0°C
Tinicial = 20°C
Substituindo $ k = 7,62 \times 10^{-5} $:
7 = 0 + (20 - 0) times e^-kt
Convertendo para minutos:
720 = e^-kt

Resposta

Leva aproximadamente 230 minutos para resfriar a lata de cerveja de 20°C para 7°C no congelador.

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