Uma lata de cerveja inicialmente a
é colocada num congelador com ar a
. Quanto tempo leva para resfriar a lata de cerveja para
?. Considere as propriedades da cerveja as mesmas da água. A lata possui 20 cm de altura e 7 cm de diâmetro. O coeficiente de transferência de calor do ar para a lata foi estimado em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais informações temos. A gente tem uma lata de cerveja que começa a 20°C e coloca no congelador que está a 0°C. Queremos saber quanto tempo leva para a cerveja esfriar até 7°C. Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a calcular como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em contato com um ambiente com temperatura diferente. Vamos precisar das propriedades da lata, como altura e diâmetro, além do coeficiente de transferência de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área superficial da lata, que é importante para saber quão fácil o calor sai da lata para o ambiente. A lata é um cilindro, então vamos usar a fórmula da área de um cilindro:
Onde:
- $ r $ é o raio
- $ h $ é a altura
A lata tem 7 cm de diâmetro, então o raio $ r = \frac{7}{2} = 3,5 $ cm = 0,035 m. A altura $ h = 20 $ cm = 0,2 m.
Vamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos calcular a massa da cerveja na lata. Como a cerveja tem propriedades iguais às da água, podemos usar a densidade da água, que é $ 1000 , kg/m³ $.
Primeiro, calculamos o volume da lata:
Agora, a massa $ m $:
Passo 4
Vamos determinar o coeficiente de resfriamento $ k $ usando a fórmula:
Onde:
- $ h = 4,73 , W/m²°C $ (dado)
- $ A = 0,0519 , m² $ (calculado)
- $ m = 0,77 , kg $ (calculado)
- $ c = 4186 , J/kg°C $ (calor específico da água)
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei do Resfriamento de Newton, que nos diz:
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ T(t) = 7°C $. Sabemos que:
- $ T_{amb} = 0°C $
- $ T_{inicial} = 20°C $
Então:
Agora, vamos resolver para $ t $:
Substituindo $ k = 7,62 \times 10^{-5} $:
Convertendo para minutos:
Resposta
Leva aproximadamente 230 minutos para resfriar a lata de cerveja de 20°C para 7°C no congelador.