A altura e o raio da base de um cone circular reto medem 4 cm e 15 cm, respectivamente. Aumenta-se a altura e diminui-se o raio da base desse cone, de uma mesma medida x, x ≠ 0, para se obter outro cone circular reto, de mesmo volume que o original. Com base nesses dados, o valor de x, em cm, é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre cones circulares retos e pede pra gente descobrir um valor $ x $ que aumenta a altura e diminui o raio da base do cone mantendo o volume igual. Então, vamos mexer com geometria espacial, especificamente com a fórmula do volume do cone. Precisamos saber como calcular o volume e igualar o volume dos dois cones para achar o $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. A fórmula é:
Onde:
- $ V $ é o volume,
- $ r $ é o raio da base,
- $ h $ é a altura.
Passo 3
Vamos calcular o volume do cone original. Os dados são:
- Altura $ h = 4 $ cm,
- Raio da base $ r = 15 $ cm.
Aplicando na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos pensar no novo cone que tem a altura aumentada e o raio diminuído pelo mesmo valor $ x $. Então, as novas medidas são:
- Nova altura $ h’ = 4 + x $ cm,
- Novo raio $ r’ = 15 - x $ cm.
Queremos que o volume desse novo cone seja igual ao original, ou seja:
Passo 5
Vamos igualar os volumes e simplificar a equação:
Podemos cancelar $ \frac{1}{3} \pi $ dos dois lados:
Passo 6
Vamos expandir a expressão
:
Primeiro, expandir
:
Agora, multiplicamos pelo $ (4 + x) $:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 7
Vamos combinar os termos semelhantes:
Agora, subtraímos 900 dos dois lados:
Passo 8
Vamos fatorar a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $ (mas o enunciado diz que $ x \neq 0 $),
- $ x^2 - 26x + 105 = 0 $.
Vamos resolver a segunda equação quadrática.
Passo 9
Resolvendo a equação quadrática $ x^2 - 26x + 105 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 10
Vamos verificar qual valor de $ x $ faz sentido no contexto do problema. Sabemos que o novo raio $ r’ = 15 - x $ deve ser positivo:
- Se $ x = 21 $ cm, então $ r’ = 15 - 21 = -6 $ cm, o que não faz sentido.
- Se $ x = 5 $ cm, então $ r’ = 15 - 5 = 10 $ cm, que é válido.
Resposta
O valor de $ x $ é 5 cm.