A altura e o raio da base de um cone circular reto medem 4 cm e 15 cm, respectivamente. Aumenta-se a altura e diminui-se o raio da base desse cone, de uma mesma medida x, x ≠ 0, para se obter outro cone circular reto, de mesmo volume que o original. Com base nesses dados, o valor de x, em cm, é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre cones circulares retos e pede pra gente descobrir um valor $ x $ que aumenta a altura e diminui o raio da base do cone mantendo o volume igual. Então, vamos mexer com geometria espacial, especificamente com a fórmula do volume do cone. Precisamos saber como calcular o volume e igualar o volume dos dois cones para achar o $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. A fórmula é:
V = 13 pi r^2 h
Onde:
  • $ V $ é o volume,
  • $ r $ é o raio da base,
  • $ h $ é a altura.

Passo 3

Vamos calcular o volume do cone original. Os dados são:
  • Altura $ h = 4 $ cm,
  • Raio da base $ r = 15 $ cm.
Aplicando na fórmula:
h = 4

Passo 4

Agora, vamos pensar no novo cone que tem a altura aumentada e o raio diminuído pelo mesmo valor $ x $. Então, as novas medidas são:
  • Nova altura $ h’ = 4 + x $ cm,
  • Novo raio $ r’ = 15 - x $ cm.
Queremos que o volume desse novo cone seja igual ao original, ou seja:
x

Passo 5

Vamos igualar os volumes e simplificar a equação:
13 pi (15 - x)^2 (4 + x) = 300 pi
Podemos cancelar $ \frac{1}{3} \pi $ dos dois lados:
13 pi

Passo 6

Vamos expandir a expressão (15 - x)^2 (4 + x):
Primeiro, expandir (15 - x)^2:
(15 - x)^2 = 225 - 30x + x^2
Agora, multiplicamos pelo $ (4 + x) $:
(4 + x)
Expandindo:
(225 - 30x + x^2)(4 + x) = 900
Simplificando:
225 times 4 + 225 times x - 30x times 4 - 30x times x + x^2 times 4 + x^2 times x = 900

Passo 7

Vamos combinar os termos semelhantes:
x^3 - 26x^2 + 105x + 900 = 900
Agora, subtraímos 900 dos dois lados:
x^3 - 26x^2 + 105x = 0

Passo 8

Vamos fatorar a equação:
x(x^2 - 26x + 105) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ x = 0 $ (mas o enunciado diz que $ x \neq 0 $),
  2. $ x^2 - 26x + 105 = 0 $.
Vamos resolver a segunda equação quadrática.

Passo 9

Resolvendo a equação quadrática $ x^2 - 26x + 105 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 26x + 105 = 0
Então, as soluções são:
x = 26 pm raiz26^2 - 4 times 1 times 1052 = 26 pm raiz676 - 4202 = 26 pm raiz2562 = 26 pm 162

Passo 10

Vamos verificar qual valor de $ x $ faz sentido no contexto do problema. Sabemos que o novo raio $ r’ = 15 - x $ deve ser positivo:
  • Se $ x = 21 $ cm, então $ r’ = 15 - 21 = -6 $ cm, o que não faz sentido.
  • Se $ x = 5 $ cm, então $ r’ = 15 - 5 = 10 $ cm, que é válido.

Resposta

O valor de $ x $ é 5 cm.

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