Uma amostra de 100 empresários agrícolas cooperados mostrou que 80 usaram crédito e uma amostra de 400 não-cooperados mostrou que 300 usaram crédito. Verifique se a proporção de cooperados que usaram crédito é estatisticamente superior à proporção de não-cooperados que usam crédito, ao nível de significância de (a) 5% e (b) 1%.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas amostras de empresários: 100 cooperados, dos quais 80 usaram crédito, e 400 não-cooperados, dos quais 300 usaram crédito. Nosso objetivo é verificar se a proporção de cooperados que usaram crédito é estatisticamente maior do que a proporção de não-cooperados que usaram crédito. Para resolver isso, vamos usar o teste de proporções na estatística, especificamente o teste Z para comparar duas proporções.
Passo 2
Vamos começar definindo as proporções das duas amostras:
- Para os cooperados:
- Para os não-cooperados:
Queremos saber se $ \hat{p}_1 $ é estatisticamente maior que $ \hat{p}_2 $.
Passo 3
Agora, estabelecemos as hipóteses para o teste:
- Hipótese Nula (
): As proporções são iguais, ou seja, $ p_1 = p_2 $ - Hipótese Alternativa (
): A proporção dos cooperados é maior, ou seja, $ p_1 > p_2 $
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste Z. Primeiro, encontramos a proporção combinada:
Em seguida, calculamos o erro padrão (EP):
Então, o valor de Z é:
Agora, comparamos o valor de Z com os valores críticos para os níveis de significância de 5% e 1%.
Resposta
Para o nível de significância de 5% (
), o valor crítico de Z é aproximadamente 1.645. Como
, não rejeitamos a hipótese nula.
Para o nível de significância de 1% ( ), o valor crítico de Z é aproximadamente 2.326. Novamente,
, então não rejeitamos a hipótese nula.
Portanto, não há evidências estatísticas suficientes para afirmar que a proporção de cooperados que usaram crédito é superior à dos não-cooperados nos níveis de 5% e 1%.
Para o nível de significância de 1% (
Portanto, não há evidências estatísticas suficientes para afirmar que a proporção de cooperados que usaram crédito é superior à dos não-cooperados nos níveis de 5% e 1%.