Uma amostra de 100 empresários agrícolas cooperados mostrou que 80 usaram crédito e uma amostra de 400 não-cooperados mostrou que 300 usaram crédito. Verifique se a proporção de cooperados que usaram crédito é estatisticamente superior à proporção de não-cooperados que usam crédito, ao nível de significância de (a) 5% e (b) 1%.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas amostras de empresários: 100 cooperados, dos quais 80 usaram crédito, e 400 não-cooperados, dos quais 300 usaram crédito. Nosso objetivo é verificar se a proporção de cooperados que usaram crédito é estatisticamente maior do que a proporção de não-cooperados que usaram crédito. Para resolver isso, vamos usar o teste de proporções na estatística, especificamente o teste Z para comparar duas proporções.

Passo 2

Vamos começar definindo as proporções das duas amostras:
  • Para os cooperados: p1 = 80100 = 0.8
  • Para os não-cooperados: p2 = 300400 = 0.75
Queremos saber se $ \hat{p}_1 $ é estatisticamente maior que $ \hat{p}_2 $.

Passo 3

Agora, estabelecemos as hipóteses para o teste:
  • Hipótese Nula ( H0): As proporções são iguais, ou seja, $ p_1 = p_2 $
  • Hipótese Alternativa ( p1 = p2 ): A proporção dos cooperados é maior, ou seja, $ p_1 > p_2 $

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste Z. Primeiro, encontramos a proporção combinada:
p = 80 + 300100 + 400 = 380500 = 0.76
Em seguida, calculamos o erro padrão (EP):
EP = raizp(1 - p)(1n1 + 1n2) = raiz0.76 times 0.24 (1100 + 1400) approx 0.0492
Então, o valor de Z é:
Z = p1 - p2EP = 0.8 - 0.750.0492 approx 1.016
Agora, comparamos o valor de Z com os valores críticos para os níveis de significância de 5% e 1%.

Resposta

Para o nível de significância de 5% ( alpha = 0.05), o valor crítico de Z é aproximadamente 1.645. Como 1.016 < 1.645, não rejeitamos a hipótese nula.
Para o nível de significância de 1% ( alpha = 0.01), o valor crítico de Z é aproximadamente 2.326. Novamente, 1.016 < 2.326, então não rejeitamos a hipótese nula.
Portanto, não há evidências estatísticas suficientes para afirmar que a proporção de cooperados que usaram crédito é superior à dos não-cooperados nos níveis de 5% e 1%.

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