Em uma amostra de 30 pessoas do município A havia 20 católicos e, em uma amostra de 50 pessoas do município B havia 44 católicos. Verifique se a proporção de católicos nos dois município é a mesma, considerando um nível de confiança de 5%.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas amostras de católicos de dois municípios diferentes e queremos saber se a proporção de católicos é a mesma nos dois lugares. Para isso, vamos usar o teste de proporções com um nível de confiança de 5%. Precisamos calcular as proporções das duas amostras e ver se elas são estatisticamente iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção de católicos em cada município. A proporção é o número de católicos dividido pelo total de pessoas na amostra.
Para o município A:
pA = 2030 = 0,6667
Para o município B:
pB = 4450 = 0,88

Passo 3

Agora, vamos definir as hipóteses do nosso teste:
  • Hipótese Nula ( H0): As proporções são iguais, ou seja, pA = pB.
  • Hipótese Alternativa ( H1): As proporções são diferentes, ou seja, pA neq pB.

Passo 4

Vamos calcular a proporção combinada ( p) que assume que as duas proporções são iguais. Essa é uma média ponderada das duas proporções:
p = xA + xBnA + nB = 20 + 4430 + 50 = 6480 = 0,8

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão ( SE) da diferença entre as duas proporções:
SE = raizp(1 - p)(1nA + 1nB) = raiz0,8 times 0,2 (130 + 150) = raiz0,16 times 0,0467 approx 0,0866

Passo 6

Agora, calculamos o valor do teste ( z) usando a diferença entre as proporções observadas e a proporção combinada, dividida pelo erro padrão:
z = pA - pBSE = 0,6667 - 0,880,0866 approx -0,21330,0866 approx -2,464

Passo 7

Vamos encontrar o valor crítico para um teste bilateral com nível de confiança de 5%. O valor crítico de z é aproximadamente pm1,96.

Passo 8

Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:
-2,464 < -1,96
Como o valor de z está fora do intervalo [-1,96, 1,96], rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de confiança de 5%, concluímos que as proporções de católicos nos municípios A e B são estatisticamente diferentes.

Exercícios relacionados