Em uma amostra de 30 pessoas do município A havia 20 católicos e, em uma amostra de 50 pessoas do município B havia 44 católicos. Verifique se a proporção de católicos nos dois município é a mesma, considerando um nível de confiança de 5%.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas amostras de católicos de dois municípios diferentes e queremos saber se a proporção de católicos é a mesma nos dois lugares. Para isso, vamos usar o teste de proporções com um nível de confiança de 5%. Precisamos calcular as proporções das duas amostras e ver se elas são estatisticamente iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a proporção de católicos em cada município. A proporção é o número de católicos dividido pelo total de pessoas na amostra.
Para o município A:
Para o município B:
Passo 3
Agora, vamos definir as hipóteses do nosso teste:
- Hipótese Nula (
): As proporções são iguais, ou seja, . - Hipótese Alternativa (
): As proporções são diferentes, ou seja, .
Passo 4
Vamos calcular a proporção combinada (
) que assume que as duas proporções são iguais. Essa é uma média ponderada das duas proporções:
Passo 5
Em seguida, calculamos o erro padrão (
) da diferença entre as duas proporções:
Passo 6
Agora, calculamos o valor do teste (
) usando a diferença entre as proporções observadas e a proporção combinada, dividida pelo erro padrão:
Passo 7
Vamos encontrar o valor crítico para um teste bilateral com nível de confiança de 5%. O valor crítico de
é aproximadamente
.
Passo 8
Comparamos o valor calculado de
com o valor crítico:
Como o valor de
está fora do intervalo
, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com um nível de confiança de 5%, concluímos que as proporções de católicos nos municípios A e B são estatisticamente diferentes.