Em uma pesquisa com 800 universitários, 385 afirmaram possuir computador. Teste a hipótese de que pelo menos 50 % dos estudantes universitários possuem computador, ao nível de significância de 10 %.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema onde pesquisaram 800 universitários e 385 disseram que têm computador. A missão é testar se pelo menos 50% dos estudantes universitários possuem computador. A matéria que vamos usar aqui é teste de hipóteses para proporções, e vamos precisar entender um pouquinho de estatística básica, como proporção amostral e valor crítico.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (H₀) é o que a gente assume que é verdadeiro até provar o contrário, e a hipótese alternativa (H₁) é o que queremos testar.
  • Hipótese nula (H₀): A proporção de universitários que possuem computador é pelo menos 50%, ou seja, $ p \geq 0,5 $.
  • Hipótese alternativa (H₁): A proporção de universitários que possuem computador é menos que 50%, ou seja, $ p < 0,5 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção na amostra. A gente tinha 385 universitários com computador em uma amostra de 800.
p = 385800 = 0,48125
Essa proporção amostral vai nos ajudar a ver se temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos mostra o quanto a proporção amostral pode variar em relação à verdadeira proporção na população, assumindo que a hipótese nula é verdadeira.
Erro Padrão = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,5 times 0,5800 = raiz0,25800 approx 0,0158 ã
Aqui, $ p_0 = 0,5 $ é a proporção segundo a hipótese nula, e $ n = 800 $ é o tamanho da amostra.

Passo 5

Com o erro padrão em mãos, vamos calcular o valor do teste Z. Esse valor nos ajuda a determinar quantos desvios padrão a proporção amostral está em relação à hipótese nula.
Z = p - p0Erro Padrão = 0,48125 - 0,50,0158 approx -1,2 ã
Um valor negativo indica que a proporção está abaixo de 50%.

Passo 6

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nosso teste. Como estamos testando se a proporção é menor que 50% com um nível de significância de 10%, procuramos o valor de Z que corresponde a 10% na cauda esquerda da distribuição normal padrão.
Consultando uma tabela de valores Z ou usando uma ferramenta estatística, encontramos:
Zcrítico approx -1,28 í

Passo 7

Hora de comparar o valor do teste Z com o valor crítico. Se o valor do Z calculado for menor que o valor crítico, a gente rejeita a hipótese nula.
-1,2 > -1,28
Como -1,2 não é menor que -1,28, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Então, com base nos cálculos, não temos evidências suficientes para afirmar que menos de 50% dos estudantes universitários possuem computador ao nível de significância de 10%.

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