Anderson tem em sua coleção de miniaturas entre 150 e 200 carrinhos. Ele enfileira de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20. Sempre sobraram três carrinhos. Quantos carrinhos Anderson tem em sua coleção?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: o Anderson tem entre 150 e 200 carrinhos de miniatura. Quando ele tenta enfileirar os carrinhos de 12, 15 ou 20 em cada fileira, sempre sobra 3 carrinhos. Isso significa que estamos lidando com divisibilidade e resto da divisão na matemática. Precisamos descobrir exatamente quantos carrinhos ele tem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “sempre sobrarem três carrinhos”. Se ele enfileirar de 12 em 12 e sobram 3, isso quer dizer que o número total de carrinhos menos 3 é múltiplo de 12. Matematicamente, podemos representar isso como:
onde $ N $ é o número total de carrinhos e $ k $ é um número inteiro.
Passo 3
O mesmo raciocínio vale para as outras quantidades: se ele enfileirar de 15 em 15 ou de 20 em 20 e sempre sobrar 3, temos:
onde $ m $ e $ n $ também são números inteiros.
Passo 4
Agora, percebemos que $ N - 3 $ deve ser um múltiplo comum de 12, 15 e 20. Para encontrar esse múltiplo comum, calculamos o mínimo múltiplo comum (MMC) desses números.
Os fatores primos são:
- 12 = $ 2^2 \times 3 $
- 15 = $ 3 \times 5 $
- 20 = $ 2^2 \times 5 $
O MMC é o produto dos fatores primos com os maiores expoentes:
Passo 5
Então, $ N - 3 $ deve ser múltiplo de 60. Podemos escrever:
onde $ p $ é um número inteiro. Assim, isolando $ N $:
Passo 6
Agora, sabemos que $ N $ está entre 150 e 200. Vamos encontrar os valores de $ p $ que satisfazem essa condição:
Subtraindo 3 de todos os lados:
Dividindo por 60:
Como $ p $ deve ser um número inteiro, o único valor possível é $ p = 3 $.
Passo 7
Substituindo $ p = 3 $ na fórmula de $ N $:
Resposta
Anderson tem 183 carrinhos em sua coleção.