Determine a área entre as curvas y=x² e y=8-x².
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área entre as curvas das funções $ y = x^2 $ e $ y = 8 - x^2 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo, especificamente sobre integração e áreas entre curvas. Precisamos descobrir onde as curvas se encontram e depois calcular a integral que representa essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver a equação $ x^2 = 8 - x^2 $ para descobrir os valores de $ x $ onde as duas funções têm o mesmo valor de $ y $.
Passo 3
Resolvendo a equação:
Vamos somar $ x^2 $ aos dois lados para agrupar os termos semelhantes:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
Por fim, tiramos a raiz quadrada:
Então, as curvas se intersectam nos pontos $ x = -2 $ e $ x = 2 $.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos determinar qual delas está acima da outra nesse intervalo. Vamos comparar os valores das funções em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, $ x = 0 $:
Como $ y_2 > y_1 $ no ponto $ x = 0 $, a curva $ y = 8 - x^2 $ está acima da curva $ y = x^2 $ entre $ x = -2 $ e $ x = 2 $.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Aqui, $ a = -2 $ e $ b = 2 $, a função de cima é $ 8 - x^2 $ e a de baixo é $ x^2 $. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de $ x = -2 $ até $ x = 2 $:
Passo 7
Calculando em $ x = 2 $:
Calculando em $ x = -2 $:
A diferença entre esses valores é:
Resposta
A área entre as curvas $ y = x^2 $ e $ y = 8 - x^2 $ é $ \frac{64}{3} $ unidades quadradas.