Uma andorinha está fazendo uma curva rápida para pegar uma mosca. Seu movimento no plano horizontal é capturado por uma câmera presa a um balão. As posições horizontais foram registradas em intervalos de 0,1 s :
t(s) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
x(m) 10,00 11,00 11,75 12,25 13,00 14,00
y(m) 15,00 15,00 15,50 16,50 17,00 17,00
(a) Desenhe o diagrama de movimento e os deslocamentos para esse movimento.
(b) Use o diagrama de movimento para encontrar os vetores de velocidade média.
© Use o diagrama de movimento para encontrar os vetores de aceleração média.
(d) Quando a velocidade e a aceleração são máximas?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o movimento de uma andorinha capturado em um plano horizontal com coordenadas $ x(t) $ e $ y(t) $ registradas a cada 0,1 segundos. A matéria envolvida aqui é Cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem considerar as causas que o provocam. Para resolver as partes (a) a (d), vamos precisar entender como representar graficamente o movimento, calcular vetores de velocidade média e aceleração média, e identificar quando esses valores são máximos.

Passo 2

Parte (a): Desenhar o diagrama de movimento e os deslocamentos
Primeiro, vamos desenhar o diagrama de movimento. Isso significa plotar os pontos das posições $ (x, y) $ em um gráfico onde o eixo x representa a posição horizontal e o eixo y a vertical. Conectando esses pontos, teremos o trajeto que a andorinha percorreu.
Além disso, os deslocamentos são as mudanças de posição entre dois instantes de tempo. Para cada intervalo de 0,1 s, desenhamos uma seta do ponto da posição anterior para o ponto da posição seguinte. Essas setas representam os vetores deslocamento.

Passo 3

Parte (b): Encontrar os vetores de velocidade média
A velocidade média em um intervalo de tempo é calculada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. Matematicamente, para cada intervalo $ \Delta t $, a velocidade média $ \vec{v}_{m} $ é:
De
Onde $ \vec{r} $ é o vetor posição $ (x, y) $.
Vamos calcular isso para cada intervalo de 0,1 s usando os dados fornecidos.

Passo 4

Calculando as velocidades médias:
Vamos calcular para cada intervalo:
  1. De 0,0 s a 0,1 s:
    De
    De
    vm = ( 1,000,1, 0,000,1 ) = (10,00 , m/s, 0,00 , m/s)
  2. De 0,1 s a 0,2 s:
    De
    De
    vm = ( 0,750,1, 0,500,1 ) = (7,50 , m/s, 5,00 , m/s)
  3. De 0,2 s a 0,3 s:
    De
    De
    vm = ( 0,500,1, 1,000,1 ) = (5,00 , m/s, 10,00 , m/s)
  4. De 0,3 s a 0,4 s:
    De
    De
    vm = ( 0,750,1, 0,500,1 ) = (7,50 , m/s, 5,00 , m/s)
  5. De 0,4 s a 0,5 s:
    De
    De
    vm = ( 1,000,1, 0,000,1 ) = (10,00 , m/s, 0,00 , m/s)

Passo 5

Parte ©: Encontrar os vetores de aceleração média
A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Assim como a velocidade, vamos calcular para cada intervalo de 0,1 s.
Matematicamente:
am = De
Vamos utilizar as velocidades médias calculadas no passo anterior.

Passo 6

Calculando as acelerações médias:
Considerando que temos velocidades médias em intervalos de 0,1 s:
  1. De 0,0 s a 0,1 s para 0,1 s a 0,2 s:
    De
    De
    am = ( -2,500,1, 5,000,1 ) = (-25,00 , m/s^2, 50,00 , m/s^2)
  2. De 0,1 s a 0,2 s para 0,2 s a 0,3 s:
    De
    De
    am = ( -2,500,1, 5,000,1 ) = (-25,00 , m/s^2, 50,00 , m/s^2)
  3. De 0,2 s a 0,3 s para 0,3 s a 0,4 s:
    De
    De
    am = ( 2,500,1, -5,000,1 ) = (25,00 , m/s^2, -50,00 , m/s^2)
  4. De 0,3 s a 0,4 s para 0,4 s a 0,5 s:
    De
    De
    am = ( 2,500,1, -5,000,1 ) = (25,00 , m/s^2, -50,00 , m/s^2)

Passo 7

Parte (d): Quando a velocidade e a aceleração são máximas?
Para identificar quando a velocidade e a aceleração são máximas, vamos analisar os valores calculados anteriormente.
  • Velocidade Máxima:
    Observando os vetores de velocidade média, percebemos que a magnitude da velocidade é máxima nos intervalos onde os componentes $ x $ e $ y $ são maiores. Nos intervalos de 0,0 s a 0,1 s e de 0,4 s a 0,5 s, a velocidade média é $ (10,00 , m/s, 0,00 , m/s) $ e $ (10,00 , m/s, 0,00 , m/s) $ respectivamente, que são os maiores valores de $ v_x $.
  • Aceleração Máxima:
    Analisando os vetores de aceleração média, vemos que a magnitude da aceleração é maior nos intervalos onde os componentes $ a_x $ e $ a_y $ atingem valores absolutos mais altos. Nos primeiros dois intervalos de aceleração, temos $ (-25,00 , m/s^2, 50,00 , m/s^2) $, que possuem os valores absolutos mais elevados.

Resposta

(a) O diagrama de movimento foi desenhado plotando as posições $ (x, y) $ em um gráfico, conectando os pontos e representando os deslocamentos com setas entre cada intervalo de 0,1 s.
(b) Os vetores de velocidade média são:
  • De 0,0 a 0,1 s: $ \vec{v}_{m} = (10,00 , m/s, 0,00 , m/s) $
  • De 0,1 a 0,2 s: $ \vec{v}_{m} = (7,50 , m/s, 5,00 , m/s) $
  • De 0,2 a 0,3 s: $ \vec{v}_{m} = (5,00 , m/s, 10,00 , m/s) $
  • De 0,3 a 0,4 s: $ \vec{v}_{m} = (7,50 , m/s, 5,00 , m/s) $
  • De 0,4 a 0,5 s: $ \vec{v}_{m} = (10,00 , m/s, 0,00 , m/s) $
© Os vetores de aceleração média são:
  • De 0,0 a 0,2 s: $ \vec{a}_{m} = (-25,00 , m/s^2, 50,00 , m/s^2) $
  • De 0,1 a 0,3 s: $ \vec{a}_{m} = (-25,00 , m/s^2, 50,00 , m/s^2) $
  • De 0,2 a 0,4 s: $ \vec{a}_{m} = (25,00 , m/s^2, -50,00 , m/s^2) $
  • De 0,3 a 0,5 s: $ \vec{a}_{m} = (25,00 , m/s^2, -50,00 , m/s^2) $
(d) A velocidade é máxima nos intervalos de 0,0 a 0,1 s e de 0,4 a 0,5 s, onde a velocidade média é $ 10,00 , m/s $ na direção x. A aceleração é máxima nos primeiros dois intervalos (0,0 a 0,2 s e 0,1 a 0,3 s), com acelerações médias de $ -25,00 , m/s^2 $ na direção x e $ 50,00 , m/s^2 $ na direção y.

Exercícios relacionados