Você solta duas esferas de uma torre alta. Primeiro, suponha que as esferas tenham o mesmo diâmetro, d, e as mesmas propriedades de superfície, de modo que tenham a mesma resistência do ar, mas tenham massas diferentes, mA e mB. A resistência do ar é descrita usando uma lei quadrática com o coeficiente D para ambas as esferas.
(a) Desenhe um diagrama de corpo livre para uma esfera enquanto ela está caindo.
(b) Encontre uma expressão para a aceleração de qualquer esfera.
© Qual objeto tem a maior aceleração - o objeto com a maior ou com a menor massa?
Agora, vamos modificar o experimento. Agora, soltamos duas esferas de diâmetros diferentes, d1 e d2, mas as esferas são sólidas e feitas do mesmo material, por exemplo, aço. Portanto, terão massas diferentes, m1 e m2. Ainda assim, a resistência do ar para ambas as esferas é descrita usando uma lei quadrática, mas o coeficiente D depende da área da seção transversal da esfera, e portanto do diâmetro: D=C0 d^2, em que C0 é uma constante.
(d) Encontre uma expressão para a aceleração de tal esfera como função do diâmetro da esfera.
(e) Qual objeto tem a maior aceleração - o objeto com o maior ou com o menor diâmetro?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas esferas soltas de uma torre alta. Inicialmente, elas têm o mesmo diâmetro d e mesmas propriedades de superfície, mas massas diferentes mA e mB. A resistência do ar segue uma lei quadrática com coeficiente D. Depois, mudamos para esferas com diâmetros diferentes, mas ainda feitas do mesmo material, então as massas m1 e m2 diferem, e D agora depende do diâmetro: D = C0 d^2.
Vamos precisar usar conceitos de física como forças de resistência do ar, leis de movimento de Newton e como a massa e o diâmetro afetam a aceleração das esferas enquanto caem.

Passo 2

(a) Desenhar o diagrama de corpo livre para uma esfera enquanto ela está caindo.
Um diagrama de corpo livre mostra todas as forças atuando em um objeto. Para uma esfera caindo, temos duas forças principais:
  1. Força peso ( P): É a força da gravidade puxando a esfera para baixo, calculada como P = m cdot g, onde m é a massa da esfera e g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s²²).
  2. Força de resistência do ar ( Fr): É a força que o ar exerce contra a movimentação da esfera, atuando para cima. Como a resistência é quadrática, podemos representá-la como Fr = D cdot v^2, onde D é o coeficiente de resistência e v é a velocidade da esfera.
Então, o diagrama terá a esfera com uma seta apontando para baixo representando P e outra seta apontando para cima representando Fr.

Passo 3

(b) Encontrar uma expressão para a aceleração de qualquer esfera.
Vamos usar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Fresu
No caso da esfera caindo, a força resultante é a diferença entre a força peso e a resistência do ar:
P - Fr = m cdot a
Substituindo P = m cdot g e Fr = D cdot v^2:
m cdot g - D cdot v^2 = m cdot a
No instante inicial, quando a esfera começa a cair, a velocidade v é zero, então a equação simplifica para:
m cdot g = m cdot a
Cancelando m dos dois lados:
a = g
Então, a aceleração inicial de qualquer esfera é igual à aceleração da gravidade g.

Passo 4

© Qual objeto tem a maior aceleração - o objeto com a maior ou com a menor massa?
Pela expressão que encontramos, a = g, a aceleração inicial não depende da massa. Isso significa que, no instante em que as esferas são soltas, ambas têm a mesma aceleração g, independentemente de terem massas diferentes.
Então, nenhuma das esferas tem uma aceleração maior que a outra no início da queda.

Passo 5

(d) Encontrar uma expressão para a aceleração de tal esfera como função do diâmetro da esfera.
Agora, as esferas têm diâmetros diferentes d1 e d2, mas são feitas do mesmo material, então a massa está relacionada ao diâmetro. Além disso, o coeficiente de resistência do ar D depende do diâmetro:
D = C0 cdot d^2
Vamos novamente usar a segunda lei de Newton:
P - Fr = m cdot a
Substituindo P = m cdot g e Fr = D cdot v^2 = C0 cdot d^2 cdot v^2:
m cdot g - C0 cdot d^2 cdot v^2 = m cdot a
Assumindo que estamos analisando a aceleração no início da queda (quando v = 0):
m cdot g = m cdot a
Cancelando m:
a = g
Mas, para incluir a dependência do diâmetro, precisamos considerar que a massa m de uma esfera sólida é dada por:
m = rho cdot V = rho cdot (43 pi (d2)^3) = rho cdot (pi6 d^3)
Onde rho é a densidade do material.
Substituindo m na equação da aceleração:
a = m cdot g - C0 cdot d^2 cdot v^2m
No início da queda, v = 0, então:
a = m cdot gm = g
Para considerar a aceleração em termos de diâmetro de maneira mais geral (não apenas no início), teríamos:
a = g - C0 cdot d^2 cdot v^2m
Substituindo m = rho cdot pi6 d^3:
a = g - C0 cdot d^2 cdot v^2rho cdot pi6 d^3 = g - 6 C0 v^2rho pi d
Então, a aceleração em função do diâmetro é:
a(d) = g - 6 C0 v^2rho pi d

Passo 6

(e) Qual objeto tem a maior aceleração - o objeto com o maior ou com a menor diâmetro?
Observando a expressão que encontramos para a aceleração:
a(d) = g - 6 C0 v^2rho pi d
A segunda parcela da equação, 6 C0 v^2rho pi d, diminui à medida que o diâmetro d aumenta. Isso significa que quanto maior o diâmetro da esfera, menor é a contribuição da resistência do ar na redução da aceleração.
Portanto, o objeto com o maior diâmetro tem a maior aceleração.

Resposta

(a) O diagrama de corpo livre mostra a esfera com a força peso para baixo e a resistência do ar para cima.
(b) A aceleração de qualquer esfera é igual à aceleração da gravidade, a = g.
© Nenhum dos objetos tem aceleração maior que o outro; ambos aceleram igualmente com a = g.
(d) A aceleração em função do diâmetro é a(d) = g - 6 C0 v^2rho pi d.
(e) O objeto com o maior diâmetro tem a maior aceleração.

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