O ângulo de elevação do sol, no horizonte está diminuindo a
. A rapidez com que a sombra é projetada por um prédio de altura
, no instante que a sombra medir
da aultura do prédio é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um prédio de altura $ H $ e o sol está se movendo no céu, fazendo com que o ângulo de elevação $ \alpha $ diminua a uma taxa de $ \frac{d\alpha}{dt} $ rad/h. Queremos descobrir quão rápido a sombra do prédio está se alongando quando ela for 20% da altura do prédio, ou seja, quando a sombra medir $ 0,2H $.
Vamos precisar usar cálculo de taxas relacionadas, que nos ajuda a relacionar como uma quantidade muda em relação a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o ângulo de elevação $ \alpha $ com o comprimento da sombra $ L $. Imagine um triângulo retângulo formado pelo prédio, sua sombra e a linha do sol. Usamos a função trigonométrica tangente:
Passo 3
Queremos expressar $ L $ em função de $ \alpha $. Para isso, isolamos $ L $:
Aqui, $ \cot(\alpha) $ é a cotangente de $ \alpha $.
Passo 4
Agora, queremos saber a taxa de variação de $ L $ em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dL}{dt} $. Vamos derivar $ L $ em relação a $ \alpha $ e depois multiplicar pela taxa de variação de $ \alpha $:
Passo 5
A derivada de $ \cot(\alpha) $ em relação a $ \alpha $ é $ -\csc^2(\alpha) $, onde $ \csc $ é a cosecante. Portanto:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar $ \csc^2(\alpha) $ quando $ L = 0,2H $. Da relação $ L = H \cot(\alpha) $:
Sabemos que:
Passo 7
Substituindo $ \csc^2(\alpha) = 1,04 $ na expressão de $ \frac{dL}{dt} $:
Resposta
A rapidez com que a sombra está se alongando quando ela mede 20% da altura do prédio é: