Uma roda gigante de raio R está fixada com centro a 2 R do solo. Enquanto se divertia com os movimentos da roda, num determinado momento o assento de Alice estava a 104 R do sólo, com velocidade vertical alpha m / min. Neste caso, pode-se deduzir que o tempo gasto para completar uma volta é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma roda gigante com raio R, cujo centro está a 2R do chão. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para a roda completar uma volta inteira. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular, mais especificamente, como a velocidade vertical está relacionada com o tempo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição de Alice. Ela está a 104R = 2.5R do chão. Como o centro da roda está a 2R do chão, a altura total do assento de Alice é a altura do centro mais a parte do raio que ela está acima do centro. Então:
2.5R = 2R + R cdot sin(theta)
Onde theta é o ângulo que o assento faz com a posição mais baixa.

Passo 3

Resolvendo a equação para sin(theta):
2.5R - 2R = R cdot sin(theta) 0.5R = R cdot sin(theta) sin(theta) = 0.5
Então, theta = arcsin(0.5), que sabemos que é 30^circ ou pi6 radianos.

Passo 4

Agora, vamos relacionar a velocidade vertical alpha com a velocidade angular omega. A velocidade vertical no movimento circular é dada por:
vy = omega R cos(theta)
Sabemos que vy = alpha, então:
alpha = omega R cos(pi6)
E cos(pi6) = raiz32, então:
alpha = omega R cdot raiz32

Passo 5

Agora, vamos isolar omega:
omega = 2alphaR raiz3
Lembre-se que a velocidade angular omega está relacionada com o período T (tempo para uma volta completa) pela fórmula:
omega = 2piT

Passo 6

Substituindo omega na equação acima:
2piT = 2alphaR raiz3
Agora, vamos resolver para T:
T = 2pi R raiz32alpha T = pi R raiz3alpha

Resposta

O tempo para completar uma volta é:
T = pi R raiz3alpha

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