Este ano a idade de Pedro é um múltiplo de 3. O ano passado era múltiplo de 2. No próximo ano será múltiplo de 4. Quantos anos terá Pedro sabendo que tem mais de 40 e menos de 75?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente sabe que a idade do Pedro tem algumas características:
  • Este ano, a idade dele é múltiplo de 3.
  • No ano passado, a idade dele era múltiplo de 2 (ou seja, era par).
  • No próximo ano, a idade dele será múltiplo de 4.
    Além disso, Pedro tem mais de 40 anos e menos de 75. Vamos usar essas informações para descobrir quantos anos ele tem.

Passo 2

Vamos chamar a idade atual do Pedro de $ x $. Segundo o enunciado:
  1. Este ano: $ x $ é múltiplo de 3, ou seja, $ x \div 3 $ dá resto 0. Em termos matemáticos: x
  2. No ano passado: a idade dele era $ x - 1 $, que é múltiplo de 2, então: x
  3. No próximo ano: a idade será $ x + 1 $, múltiplo de 4: x div 3

Passo 3

Vamos traduzir essas congruências para entender melhor:
  1. Da primeira equação, sabemos que $ x $ é divisível por 3.
  2. Da segunda, $ x - 1 $ é divisível por 2, então $ x $ deve ser ímpar (porque um número par menos 1 é ímpar).
  3. Da terceira, $ x + 1 $ é divisível por 4, então $ x $ deve ser $ -1 $ módulo 4, ou seja: x

Passo 4

Agora, vamos encontrar $ x $ que satisfaça todas essas condições:
  • $ x $ é múltiplo de 3.
  • $ x $ é ímpar.
  • $ x \equiv 3 \ (mod \ 4) $.
  • $ 40 < x < 75 $.
Vamos listar os múltiplos de 3 nesse intervalo e verificar quais atendem às outras condições.

Passo 5

Primeiro, listamos os múltiplos de 3 entre 41 e 74:
42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72
Agora, vamos eliminar os pares porque $ x $ precisa ser ímpar:
x
Em seguida, vamos verificar quais desses números são $ 3 $ módulo 4:
  • $ 45 \div 4 = 11 $ resto 1 → Não serve.
  • $ 51 \div 4 = 12 $ resto 3 → Serve.
  • $ 57 \div 4 = 14 $ resto 1 → Não serve.
  • $ 63 \div 4 = 15 $ resto 3 → Serve.
  • $ 69 \div 4 = 17 $ resto 1 → Não serve.

Passo 6

Dos números que sobraram, 51 e 63, vamos verificar se atendem a todas as condições:
  1. 51:
    • Múltiplo de 3? Sim.
    • Ímpar? Sim.
    • $ 51 + 1 = 52 $, múltiplo de 4? $ 52 \div 4 = 13 $ → Sim.
  2. 63:
    • Múltiplo de 3? Sim.
    • Ímpar? Sim.
    • $ 63 + 1 = 64 $, múltiplo de 4? $ 64 \div 4 = 16 $ → Sim.
Ambos os números atendem a todas as condições.

Passo 7

Como Pedro tem mais de 40 e menos de 75 anos, ambas as soluções 51 e 63 são válidas. Porém, o problema pede quantos anos ele tem, então precisamos verificar se há mais informações ou contexto para escolher entre 51 e 63 anos. Se não houver mais detalhes, ambas as idades são possíveis.

Resposta

Pedro pode ter 51 anos ou 63 anos.

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