Este ano a idade de Pedro é um múltiplo de 3. O ano passado era múltiplo de 2. No próximo ano será múltiplo de 4. Quantos anos terá Pedro sabendo que tem mais de 40 e menos de 75?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente sabe que a idade do Pedro tem algumas características:
- Este ano, a idade dele é múltiplo de 3.
- No ano passado, a idade dele era múltiplo de 2 (ou seja, era par).
- No próximo ano, a idade dele será múltiplo de 4.
Além disso, Pedro tem mais de 40 anos e menos de 75. Vamos usar essas informações para descobrir quantos anos ele tem.
Passo 2
Vamos chamar a idade atual do Pedro de $ x $. Segundo o enunciado:
- Este ano: $ x $ é múltiplo de 3, ou seja, $ x \div 3 $ dá resto 0. Em termos matemáticos:
- No ano passado: a idade dele era $ x - 1 $, que é múltiplo de 2, então:
- No próximo ano: a idade será $ x + 1 $, múltiplo de 4:
Passo 3
Vamos traduzir essas congruências para entender melhor:
- Da primeira equação, sabemos que $ x $ é divisível por 3.
- Da segunda, $ x - 1 $ é divisível por 2, então $ x $ deve ser ímpar (porque um número par menos 1 é ímpar).
- Da terceira, $ x + 1 $ é divisível por 4, então $ x $ deve ser $ -1 $ módulo 4, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos encontrar $ x $ que satisfaça todas essas condições:
- $ x $ é múltiplo de 3.
- $ x $ é ímpar.
- $ x \equiv 3 \ (mod \ 4) $.
- $ 40 < x < 75 $.
Vamos listar os múltiplos de 3 nesse intervalo e verificar quais atendem às outras condições.
Passo 5
Primeiro, listamos os múltiplos de 3 entre 41 e 74:
Agora, vamos eliminar os pares porque $ x $ precisa ser ímpar:
Em seguida, vamos verificar quais desses números são $ 3 $ módulo 4:
- $ 45 \div 4 = 11 $ resto 1 → Não serve.
- $ 51 \div 4 = 12 $ resto 3 → Serve.
- $ 57 \div 4 = 14 $ resto 1 → Não serve.
- $ 63 \div 4 = 15 $ resto 3 → Serve.
- $ 69 \div 4 = 17 $ resto 1 → Não serve.
Passo 6
Dos números que sobraram, 51 e 63, vamos verificar se atendem a todas as condições:
- 51:
- Múltiplo de 3? Sim.
- Ímpar? Sim.
- $ 51 + 1 = 52 $, múltiplo de 4? $ 52 \div 4 = 13 $ → Sim.
- 63:
- Múltiplo de 3? Sim.
- Ímpar? Sim.
- $ 63 + 1 = 64 $, múltiplo de 4? $ 64 \div 4 = 16 $ → Sim.
Ambos os números atendem a todas as condições.
Passo 7
Como Pedro tem mais de 40 e menos de 75 anos, ambas as soluções 51 e 63 são válidas. Porém, o problema pede quantos anos ele tem, então precisamos verificar se há mais informações ou contexto para escolher entre 51 e 63 anos. Se não houver mais detalhes, ambas as idades são possíveis.
Resposta
Pedro pode ter 51 anos ou 63 anos.