Aquecimento de placas de bronze em forno
Em uma instalação de produção, grandes placas de latão de 4 cm de espessura, que estão incialmente a uma temperatura uniforme de
, são aquecidas passando-as por um forno que é mantido a
. As placas permanecem no forno por um período de 7 minutos. Tomando o coeficiente combinado de transferência de calor por convecção e radiação
, determine a temperatura da superfície da chapa quando elas saem do forno.
Em uma instalação de produção, grandes placas de latão de 4 cm de espessura, que estão incialmente a uma temperatura uniforme de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre aquecer placas de latão que estão inicialmente a 20°C e passar elas por um forno a 500°C por 7 minutos. Queremos descobrir qual a temperatura da superfície da placa quando ela sai do forno. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e condução térmica. Precisaremos usar a fórmula que relaciona a troca de calor com o tempo e as propriedades do material.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, quando a placa entra no forno, ela começa a aquecer por causa da diferença de temperatura entre o forno e a placa. O calor passa do forno para a superfície da placa por convecção e radiação, e depois se conduz para o interior da placa.
Vamos assumir que a placa tem uma temperatura uniforme inicialmente, e que a transferência de calor é unidimensional (apenas perpendicular às superfícies). Para simplificar, vamos usar a equação de resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de transferência de calor com a diferença de temperatura.
A fórmula geral para esse tipo de problema é:
Onde:
-
é a diferença de temperatura no tempo , -
é a diferença de temperatura inicial, -
é o coeficiente de transferência de calor, -
é a área de superfície, -
é a densidade do material, -
é o volume da placa, -
é a capacidade térmica específica, -
é o tempo.
Passo 3
Vamos calcular os parâmetros necessários. Primeiro, precisamos das propriedades do latão:
- Densidade (
): aproximadamente 8500 kg/m³, - Capacidade térmica específica (
): cerca de 380 J/(kg·°C).
Como o enunciado não fornece a área da placa, vamos considerar que a transferência de calor depende apenas da espessura para simplificar. A espessura da placa (
) é 4 cm, ou 0,04 m.
A diferença de temperatura inicial (
) é a diferença entre a temperatura do forno e a temperatura inicial da placa:
O tempo (
) é de 7 minutos, que convertido para segundos fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fórmula considerando que a transferência de calor é atrav��s da espessura da placa. A taxa de aquecimento pode ser aproximada por:
Para uma placa plana,
, então simplificando:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar
.
Passo 5
Resolvendo a equação diferencial, temos:
Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando o expoente primeiro:
Multiplicando pelo tempo:
Então:
Calculando
:
Então:
Resposta
A temperatura da superfície da placa quando ela sai do forno é aproximadamente 175°C.
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