Aquecimento de placas de bronze em forno
Em uma instalação de produção, grandes placas de latão de 4 cm de espessura, que estão incialmente a uma temperatura uniforme de 20^circ C, são aquecidas passando-as por um forno que é mantido a 500^circ C. As placas permanecem no forno por um período de 7 minutos. Tomando o coeficiente combinado de transferência de calor por convecção e radiação h=120 W / m^2 ^circ C, determine a temperatura da superfície da chapa quando elas saem do forno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre aquecer placas de latão que estão inicialmente a 20°C e passar elas por um forno a 500°C por 7 minutos. Queremos descobrir qual a temperatura da superfície da placa quando ela sai do forno. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e condução térmica. Precisaremos usar a fórmula que relaciona a troca de calor com o tempo e as propriedades do material.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, quando a placa entra no forno, ela começa a aquecer por causa da diferença de temperatura entre o forno e a placa. O calor passa do forno para a superfície da placa por convecção e radiação, e depois se conduz para o interior da placa.
Vamos assumir que a placa tem uma temperatura uniforme inicialmente, e que a transferência de calor é unidimensional (apenas perpendicular às superfícies). Para simplificar, vamos usar a equação de resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de transferência de calor com a diferença de temperatura.
A fórmula geral para esse tipo de problema é:
theta(t) = theta0 cdot e^- hArho V c t
Onde:
  • é a diferença de temperatura no tempo ,
  • é a diferença de temperatura inicial,
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é a área de superfície,
  • é a densidade do material,
  • é o volume da placa,
  • é a capacidade térmica específica,
  • é o tempo.

Passo 3

Vamos calcular os parâmetros necessários. Primeiro, precisamos das propriedades do latão:
  • Densidade ( theta0 = 500°C - 20°C = 480°C ): aproximadamente 8500 kg/m³,
  • Capacidade térmica específica ( t = 7 minutos times 60 segundos/minuto = 420 segundos ): cerca de 380 J/(kg·°C).
Como o enunciado não fornece a área da placa, vamos considerar que a transferência de calor depende apenas da espessura para simplificar. A espessura da placa ( ) é 4 cm, ou 0,04 m.
A diferença de temperatura inicial ( ) é a diferença entre a temperatura do forno e a temperatura inicial da placa:
O tempo ( ) é de 7 minutos, que convertido para segundos fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fórmula considerando que a transferência de calor é atrav��s da espessura da placa. A taxa de aquecimento pode ser aproximada por:
partial Tpartial t = hArho V c cdot (Tforno - T)
Para uma placa plana, partial Tpartial t = hrho c L cdot (Tforno - T) , então simplificando:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar .

Passo 5

Resolvendo a equação diferencial, temos:
T(t) = Tforno - (Tforno - T0) cdot e^- hrho c L t
Substituindo os valores:
T(t) = 500°C - (500°C - 20°C) cdot e^- 120 W/m^2°C8500 kg/m^3 times 380 J/(kg·°C) times 0,04 m times 420 s

Passo 6

Calculando o expoente primeiro:
hrho c L = 1208500 times 380 times 0,04 approx 120129200 approx 0,000928 s^-1
Multiplicando pelo tempo:
0,000928 times 420 approx 0,390
Então:
T(t) = 500°C - 480°C cdot e^-0,390
Calculando e^-0,390 approx 0,677 :
T(t) = 500°C - 480°C times 0,677 approx 500°C - 324.96°C approx 175.04°C
Então:

Resposta

A temperatura da superfície da placa quando ela sai do forno é aproximadamente 175°C.

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