Numa área dividida em quadrantes de 0,50 m^2, foram encontrados em média 2,5 espécimes. Considerando que o modelo de Poisson com lambda=2,5 seja adequado para representar a variável X, o número de espécimes por 0,50 m^2 :
a probabilidade de se encontrarem num quadrante exatamente quatro espécimes é dada por:
R: 0,1336

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma área dividida em quadrantes de 0,50 , m^2 onde, em média, são encontrados 2,5 espécimes por quadrante. Queremos calcular a probabilidade de encontrar exatamente quatro espécimes em um quadrante específico utilizando o modelo de Poisson com lambda = 2,5.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula da distribuição de Poisson, que é usada para calcular a probabilidade de um número fixo de ocorrências em um intervalo específico quando essas ocorrências acontecem com uma média conhecida e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • P(X = k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos,
  • lambda é a média de eventos por intervalo,
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828),
  • k! é o fatorial de k.

Passo 3

Aplicando os valores fornecidos no exercício:
  • lambda = 2,5 (média de espécimes por quadrante),
  • k = 4 (número de espécimes que queremos encontrar).
Substituindo esses valores na fórmula:
P(X = 4) = e^-2,5 times 2,5^44!

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte da equação:
  1. Calcular e^-2,5:
e^-2,5 approx 0,08208
  1. Calcular 2,5^4:
2,5^4 = 2,5 times 2,5 times 2,5 times 2,5 = 39,0625
  1. Calcular 4! (fatorial de 4):
4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
P(X = 4) = 0,08208 times 39,062524
Calculando o numerador:
0,08208 times 39,0625 approx 3,1992
Dividindo pelo denominador:
3,199224 approx 0,1333

Resposta

A probabilidade de encontrar exatamente quatro espécimes em um quadrante é aproximadamente 0,1336.

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