Numa criação de coelhos, a taxa de nascimento de machos é de 40 %. Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos dois coelhos machos, num dia em que nasceram 19 coelhos? Estruturar a função de probabilidade e representar a distribuição graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema sobre a criação de coelhos onde 40% deles são machos. Precisamos descobrir qual é a probabilidade de, em um dia específico, nascerem pelo menos dois coelhos machos dentre 19 nascidos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que é super útil quando a gente tem um número fixo de tentativas (neste caso, os 19 coelhos) e queremos saber a chance de um certo número de sucessos (coelhos machos) acontecerem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de probabilidade binomial. Essa função nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas, com uma probabilidade de sucesso em cada tentativa sendo p. A fórmula é:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que mostra de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p é a probabilidade de sucesso (nascimento de um macho, que é 0,4).
  • 1-p é a probabilidade de fracasso (nascimento de uma fêmea, que é 0,6).

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de pelo menos dois coelhos machos nascerem em 19 nascimentos. Ou seja, estamos procurando P(X >= 2). É mais fácil calcular isso como:
P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(0) + P(1)]
Vamos calcular P(0) e P(1):
Para k = 0:
P(0) = binom190 times 0,4^0 times 0,6^19 = 1 times 1 times 0,6^19
Para k = 1:
P(1) = binom191 times 0,4^1 times 0,6^18 = 19 times 0,4 times 0,6^18
Calculando esses valores:
P(0) approx 0,6^19 approx 0,0001
P(1) approx 19 times 0,4 times 0,6^18 approx 0,0012
Então:
P(X >= 2) = 1 - (0,0001 + 0,0012) = 1 - 0,0013 = 0,9987

Passo 4

Agora, para estruturar a função de probabilidade e representar a distribuição, vamos considerar todos os possíveis números de coelhos machos, de 0 a 19, usando a fórmula binomial que mencionamos. Cada ponto dessa distribuição mostra a probabilidade de exatamente k coelhos machos nascerem.
Por exemplo, para alguns valores de k:
  • P(0): Probabilidade de nenhum macho.
  • P(1): Probabilidade de um único macho.
  • P(2): Probabilidade de dois machos.
  • E assim por diante, até P(19).
A distribuição será uma curva onde a maioria das probabilidades estarão próximas da média esperada, que nesse caso é n times p = 19 times 0,4 = 7,6 machos.

Resposta

A probabilidade de nascerem pelo menos dois coelhos machos em um dia com 19 nascimentos é aproximadamente 99,87%.

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