Qual é a área total de um cubo circunscrito a uma esfera de volume 36π cm³?

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo uma esfera e um cubo. A questão nos pede para encontrar a área total de um cubo que está circunscrito a uma esfera cujo volume é de 36pi , cm^3. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas do volume da esfera e da área da superfície do cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume da esfera:
V = 43 pi r^3
Onde V é o volume e r é o raio da esfera. Sabemos que o volume V é 36pi , cm^3, então podemos igualar e resolver para r:
36pi = 43 pi r^3

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação para encontrar r^3. Podemos dividir ambos os lados por pi:
36 = 43 r^3
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por 34:
36 times 34 = r^3 Rightarrow 27 = r^3

Passo 4

Para encontrar o raio r, tiramos a raiz cúbica de 27:
r = raiz[3]27 = 3 , cm

Passo 5

O cubo está circunscrito à esfera, o que significa que o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo. Sabemos que o diâmetro d é:
d = 2r = 2 times 3 = 6 , cm
Então, a aresta do cubo a é de 6 cm.

Passo 6

Agora, vamos calcular a área total do cubo. A fórmula para a área total de um cubo é:
A = 6a^2
Substituindo a = 6 , cm:
A = 6 times (6)^2 = 6 times 36 = 216 , cm^2

Resposta

A área total do cubo é de 216 , cm^2.

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