) Uma arma dispara um projétil com velocidade de
formando um ângulo de
com o solo. a) Achar o vetor velocidade e o vetor posição do projétil depois de 20s. Qual a velocidade do projétil neste tempo? b) Achar o alcance e o tempo necessário para o projétil voltar ao solo.c) Porque o movimento deste projétil estar confinado a um plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma arma que dispara um projétil com uma velocidade inicial de 200 metros por segundo, formando um ângulo de 40 graus com o chão. O conteúdo que vamos usar aqui é o de Movimento Projetil na física, que trata de objetos lançados no ar sob a influência da gravidade. Para resolver isso, precisamos entender como decompor a velocidade inicial nos eixos horizontal e vertical, usar as equações do movimento uniformemente acelerado e depois aplicar isso para encontrar as respostas das partes a, b e c do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nos eixos horizontal (
) e vertical (
). Para isso usamos trigonometria:
Onde:
-
é a velocidade inicial. -
é o ângulo de lançamento.
Passo 3
Calculando
e
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade e a posição do projétil depois de 20 segundos.
A velocidade no eixo horizontal (
) permanece constante já que não há aceleração horizontal (ignorando resistência do ar):
Já a velocidade no eixo vertical (
) muda devido à aceleração da gravidade (
):
Passo 5
Com as velocidades, podemos escrever o vetor velocidade após 20 segundos (
):
Passo 6
Agora, para encontrar a posição após 20 segundos, usamos as equações do movimento uniformemente acelerado para cada eixo.
Para o eixo horizontal:
Para o eixo vertical:
Passo 7
Assim, o vetor posição após 20 segundos (
) é:
Passo 8
Resumindo a parte a):
- A velocidade do projétil após 20 segundos é
. - A posição do projétil após 20 segundos é
.
Passo 9
Agora, para a parte b), vamos encontrar o alcance (distância horizontal total) e o tempo total de voo até o projétil voltar ao solo.
Primeiro, o tempo total de voo ocorre quando o projétil retorna ao nível inicial (
). Usamos a equação vertical:
Resolvendo para
:
Então,
(no lançamento) ou:
Passo 10
O alcance (
) é a distância horizontal percorrida nesse tempo:
Passo 11
Por fim, a resposta para a parte b):
- Alcance: aproximadamente 4014 metros.
- Tempo de voo: aproximadamente 26.2 segundos.
Passo 12
Para a parte c), a pergunta é por que o movimento do projétil está confinado a um plano.
Isso acontece porque o projétil é lançado em um único plano definido pelo ângulo de lançamento e a direção inicial da velocidade. Sem forças atuando fora desse plano (como vento lateral), o movimento permanece bidimensional, ou seja, ocorre apenas no plano horizontal e vertical definidos inicialmente.
Resposta
a) Após 20 segundos, a velocidade do projétil é
e a posição é
.
b) O alcance do projétil é aproximadamente 4014 metros e o tempo total de voo é cerca de 26.2 segundos.
c) O movimento do projétil está confinado a um plano porque ele é lançado em uma direção específica e, na ausência de forças externas fora desse plano, o trajeto permanece bidimensional.
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