) Uma arma dispara um projétil com velocidade de 200 m / s formando um ângulo de 40^circ com o solo. a) Achar o vetor velocidade e o vetor posição do projétil depois de 20s. Qual a velocidade do projétil neste tempo? b) Achar o alcance e o tempo necessário para o projétil voltar ao solo.c) Porque o movimento deste projétil estar confinado a um plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma arma que dispara um projétil com uma velocidade inicial de 200 metros por segundo, formando um ângulo de 40 graus com o chão. O conteúdo que vamos usar aqui é o de Movimento Projetil na física, que trata de objetos lançados no ar sob a influência da gravidade. Para resolver isso, precisamos entender como decompor a velocidade inicial nos eixos horizontal e vertical, usar as equações do movimento uniformemente acelerado e depois aplicar isso para encontrar as respostas das partes a, b e c do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nos eixos horizontal ( v0x = v0 cdot cos(theta) ) e vertical ( v0y = v0 cdot sin(theta) ). Para isso usamos trigonometria:
Onde:
  • é a velocidade inicial.
  • é o ângulo de lançamento.

Passo 3

Calculando v0x = 200 cdot cos(40^circ) approx 200 cdot 0.7660 approx 153.2, m/s e v0y = 200 cdot sin(40^circ) approx 200 cdot 0.6428 approx 128.6, m/s :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade e a posição do projétil depois de 20 segundos.
A velocidade no eixo horizontal ( vx = v0x = 153.2, m/s ) permanece constante já que não há aceleração horizontal (ignorando resistência do ar):
vy = v0y - g cdot t = 128.6, m/s - 9.81, m/s^2 cdot 20, s = 128.6 - 196.2 = -67.6, m/s
Já a velocidade no eixo vertical ( ) muda devido à aceleração da gravidade ( ):

Passo 5

Com as velocidades, podemos escrever o vetor velocidade após 20 segundos ( v = lang<= vx, vy rang<= = lang<= 153.2, m/s, -67.6, m/s rang<= ):

Passo 6

Agora, para encontrar a posição após 20 segundos, usamos as equações do movimento uniformemente acelerado para cada eixo.
Para o eixo horizontal:
x = v0x cdot t = 153.2, m/s cdot 20, s = 3064, m
Para o eixo vertical:
y = v0y cdot t - 12 g t^2 = 128.6, m/s cdot 20, s - 0.5 cdot 9.81, m/s^2 cdot (20, s)^2
y = 2572, m - 0.5 cdot 9.81 cdot 400 = 2572, m - 1962, m = 610, m

Passo 7

Assim, o vetor posição após 20 segundos ( r = lang<= x, y rang<= = lang<= 3064, m, 610, m rang<= ) é:

Passo 8

Resumindo a parte a):
  • A velocidade do projétil após 20 segundos é .
  • A posição do projétil após 20 segundos é .

Passo 9

Agora, para a parte b), vamos encontrar o alcance (distância horizontal total) e o tempo total de voo até o projétil voltar ao solo.
Primeiro, o tempo total de voo ocorre quando o projétil retorna ao nível inicial ( y = v0y cdot t - 12 g t^2 = 0 ). Usamos a equação vertical:
0 = 128.6, t - 4.905, t^2
Resolvendo para t (128.6 - 4.905, t) = 0 :
128.6 - 4.905, t = 0 Rightarrow t = 128.64.905 approx 26.2, s
Então, (no lançamento) ou:

Passo 10

O alcance ( R = v0x cdot t = 153.2, m/s cdot 26.2, s approx 4014, m ) é a distância horizontal percorrida nesse tempo:

Passo 11

Por fim, a resposta para a parte b):
  • Alcance: aproximadamente 4014 metros.
  • Tempo de voo: aproximadamente 26.2 segundos.

Passo 12

Para a parte c), a pergunta é por que o movimento do projétil está confinado a um plano.
Isso acontece porque o projétil é lançado em um único plano definido pelo ângulo de lançamento e a direção inicial da velocidade. Sem forças atuando fora desse plano (como vento lateral), o movimento permanece bidimensional, ou seja, ocorre apenas no plano horizontal e vertical definidos inicialmente.

Resposta

a) Após 20 segundos, a velocidade do projétil é e a posição é .
b) O alcance do projétil é aproximadamente 4014 metros e o tempo total de voo é cerca de 26.2 segundos.
c) O movimento do projétil está confinado a um plano porque ele é lançado em uma direção específica e, na ausência de forças externas fora desse plano, o trajeto permanece bidimensional.

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