Em uma Árvore Binária de Busca (BST) balanceada, qual das seguintes operações geralmente exibe uma complexidade de tempo média de
, considerando a estrutura balanceada da árvore?
c) Inserção de um novo nó e busca por um elemento.
c) Inserção de um novo nó e busca por um elemento.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Árvore Binária de Busca (BST) balanceada e queremos saber qual das operações listadas geralmente tem uma complexidade de tempo média de
, levando em conta que a árvore está balanceada. O conteúdo aqui envolve estruturas de dados, especialmente árvores binárias de busca, e análise de complexidade de algoritmos. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a inserção e a busca em uma BST balanceada e como isso afeta o tempo de execução dessas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma Árvore Binária de Busca (BST). É uma estrutura de dados onde cada nó tem no máximo dois filhos, e para cada nó, os valores na subárvore esquerda são menores e os da direita são maiores. Isso facilita a busca de elementos de forma eficiente.
Passo 3
Agora, uma árvore balanceada significa que a diferença de altura entre as subárvores esquerda e direita de qualquer nó é, no máximo, uma unidade. Isso garante que a árvore não fique muito “desbalanceada”, o que poderia aumentar o tempo de busca e inserção.
Passo 4
Vamos falar sobre a complexidade de tempo. Quando dizemos que uma operação tem complexidade
, isso significa que o tempo para executar a operação cresce de forma logarítmica em relação ao tamanho da entrada. Em uma BST balanceada, a altura da árvore é proporcional a
, onde
é o número de nós.
Passo 5
Para inserir um novo nó em uma BST balanceada, começamos na raiz e percorremos a árvore, comparando o valor a ser inserido com os valores dos nós existentes, indo para a esquerda ou direita conforme necessário, até encontrar o local correto para inserir o novo nó. Como a árvore está balanceada, esse percurso tem uma profundidade de
, então a inserção tem uma complexidade de
.
Passo 6
Já para a busca por um elemento, o processo é similar: começamos na raiz e comparamos o valor procurado, seguindo para a esquerda ou direita, dependendo da comparação, até encontrar o elemento ou chegar a um nó nulo. Novamente, devido à estrutura balanceada, o número de passos necessários é proporcional a
, resultando em uma complexidade de
.
Resposta
Portanto, em uma Árvore Binária de Busca balanceada, tanto a inserção de um novo nó quanto a busca por um elemento geralmente exibem uma complexidade de tempo média de
.