Assinale a alternativa que apresenta os resultados possíveis para a equação logarítmica abaixo: log(10-x)(x2+2x)=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação logarítmica:
log10 - x(x^2 + 2x) = 1
Estamos trabalhando com logaritmos, que é um conceito da matemática. Para resolver essa equação, precisamos lembrar que um logaritmo básico logb(a) = c significa que b^c = a. Vamos usar essa relação para resolver a equação.

Passo 2

Vamos reescrever a equação logarítmica na forma exponencial. Isso significa que:
(10 - x)^1 = x^2 + 2x
Simplificando, temos:
10 - x = x^2 + 2x

Passo 3

Agora, vamos mover todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
x^2 + 2x + x - 10 = 0
Isso simplifica para:
x^2 + 3x - 10 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática x^2 + 3x - 10 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 3 e c = -10. Substituindo esses valores:
x = -3 pm raiz9 + 402 = -3 pm raiz492 = -3 pm 72
Isso nos dá duas soluções:
x = 42 = 2 e x = -102 = -5

Passo 5

Antes de aceitar essas soluções, precisamos verificar se elas são válidas na equação original, porque no logaritmo a base deve ser positiva e diferente de 1, e o argumento também deve ser positivo.
Para x = 2:
  • Base: 10 - 2 = 8 (válido, pois é maior que 0 e diferente de 1)
  • Argumento: 2^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8 (válido, pois é maior que 0)
Para x = -5:
  • Base: 10 - (-5) = 15 (válido)
  • Argumento: (-5)^2 + 2(-5) = 25 - 10 = 15 (válido)

Resposta

As soluções da equação são x = 2 e x = -5.

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