Assinale a alternativa que contenha o resultado da equação diferencial dy/dx=x²y.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
dydx = x^2 y
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e do tipo separável. Para resolvê-la, vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Dividimos ambos os lados por $ y $ e multiplicamos por $ dx $:
y

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de $ \frac{1}{y} , dy $ é:
1y , dy
E a integral de $ x^{2} , dx $ é:
integral 1y , dy = ln|y| + C1

Passo 4

Igualando as integrais, temos:
ln|y| + C1 = x^33 + C2
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
C1

Passo 5

Para resolver para $ y $, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
y
Como $ e^{C} $ é apenas uma constante, podemos renomeá-la para $ k $:
|y| = e^x^33 + C = e^x^33 cdot e^C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = k , e^x^33

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