No átomo de hidrogênio, a transição de n=3 para n=2 corresponde a um fóton de luz visível na faixa do vermelho, com lambda=656,3 nm. (a) Qual o comprimento de onda para essa mesma transição no He^+?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transições eletrônicas nos átomos. A questão nos dá que no átomo de hidrogênio, a transição do nível de energia n=3 para n=2 emite um fóton de luz vermelha com comprimento de onda lambda=656,3 nm. A pergunta é: qual seria o comprimento de onda dessa mesma transição no íon He^+? Vamos precisar entender como os níveis de energia mudam quando a carga nuclear aumenta e como isso afeta o comprimento de onda emitido.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar como os níveis de energia funcionam em um átomo de hidrogênio. A energia de um elétron em um nível n é dada pela fórmula:
En = -RHn^2
onde RH é a constante de Rydberg para hidrogênio, aproximadamente 2,18 times 10^-18 J.

Passo 3

Quando temos um íon como o He^+, que também possui apenas um elétron, os níveis de energia são influenciados pela carga nuclear. A fórmula para a energia dos níveis em um íon de hidrogênio-like é:
En = -Z^2 RHn^2
Aqui, Z é o número atômico, que para o hélio é 2. Isso significa que os níveis de energia ficam mais profundos conforme aumenta o Z.

Passo 4

O comprimento de onda lambda do fóton emitido em uma transição entre dois níveis de energia é relacionado à diferença de energia entre esses níveis pela equação:
1lambda = R Z^2 ( 1nf^2 - 1ni^2 )
Para o átomo de hidrogênio ( Z=1), já sabemos que a transição de n=3 para n=2 lambda=656,3 nm. Queremos saber o mesmo para He^+ ( Z=2).

Passo 5

Notamos que o comprimento de onda é inversamente proporcional a Z^2. Então, para o He^+, podemos ajustar a fórmula:
lambdaHe^+ = lambdaHZ^2
Substituindo os valores:
lambdaHe^+ = 656,3 nm2^2 = 656,3 nm4 = 164,075 nm

Resposta

O comprimento de onda para a transição de n=3 para n=2 no He^+ é aproximadamente 164,1 nm.

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