Atualmente existem muitos aplicativos de fazendas virtuais que, apesar de críticas, possuem uma enorme quantidade de usuários. Embora apresentem algumas diferenças de funcionamento, as fazendas virtuais possuem a mesma concepção: cada vez que o usuário cuida de sua fazenda ou da de seus amigos, ganha pontos, e, quanto mais pontos acumula, maior é seu nível de experiência. Em um aplicativo de fazenda virtual, o usuário precisa de 1 000 pontos para atingir o nível 1. Acumulando mais 1 200 pontos, atinge o nível 2; acumulando mais 1 400 pontos, atinge o nível 3 e assim por diante, sempre com esse padrão. Um usuário que está no nível 15 de experiência acumulou:
a) 3 800 pontos.
b) 15 200 pontos.
c) 32 200 pontos.
d) 35 000 pontos.
e) 36 000 pontos.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um jogo de fazenda virtual onde cada nível de experiência é alcançado acumulando uma certa quantidade de pontos. Para chegar ao nível 1, você precisa de 1.000 pontos. Para cada nível seguinte, a quantidade de pontos necessários aumenta de 200. Ou seja, para o nível 2 são 1.200 pontos a mais, para o nível 3 são 1.400 pontos a mais, e assim por diante. Nosso objetivo é descobrir quantos pontos um usuário acumulou para chegar ao nível 15 seguindo esse padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão de crescimento dos pontos necessários para cada nível. Observamos que a cada nível, os pontos necessários aumentam de 200. Isso forma uma progressão aritmética, onde cada termo aumenta de forma constante em relação ao anterior.

Passo 3

Em uma progressão aritmética, a quantidade de pontos para cada nível pode ser representada pela fórmula do termo geral:
an = a1 + (n - 1) cdot d
Onde:
- $ a_n $ é a quantidade de pontos para o n-ésimo nível.
- $ a_1 $ é a quantidade de pontos para o primeiro nível (1.000 pontos).
- $ d $ é a diferença comum entre os termos (200 pontos).
- $ n $ é o número do nível.

Passo 4

Para encontrar os pontos necessários para cada nível até o 15, podemos usar a fórmula acima ou calcular de forma cumulativa. Vamos optar pela forma cumulativa para facilitar o entendimento.

Passo 5

Vamos calcular os pontos acumulados até o nível 15 somando todos os aumentos de pontos até chegar lá.
Para isso, usamos a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética:
Sn = n2 cdot (2a1 + (n - 1) cdot d)
Onde:
- $ S_n $ é a soma total de pontos até o n-ésimo nível.
- $ n $ é o número do nível (15).
- $ a_1 $ é 1.000 pontos.
- $ d $ é 200 pontos.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
S15 = 152 cdot (2 cdot 1000 + (15 - 1) cdot 200)
S15 = 152 cdot (2000 + 2800)
S15 = 152 cdot 4800
S15 = 7,5 cdot 4800
S15 = 36.000

Resposta

O usuário que está no nível 15 de experiência acumulou 36.000 pontos. Alternativa e).

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