(b) Calcule D no ponto onde
, expressando o resultado em componentes cilíndricos e cartesianos.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o vetor D num ponto específico, onde as coordenadas cilíndricas são
,
, e
. Além disso, a questão pede para expressar o resultado tanto em coordenadas cilíndricas quanto em cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter coordenadas cilíndricas para cartesianas e como representar vetores nesses sistemas de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cilíndricas (
,
,
) para coordenadas cartesianas (
,
,
). As fórmulas de conversão são:
Isso significa que, dado
,
e
, podemos encontrar
e
usando essas expressões.
Passo 3
Aplicando as fórmulas de conversão com os valores fornecidos:
Então, as coordenadas cartesianas correspondentes são
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar o vetor D em ambos os sistemas de coordenadas. Em coordenadas cilíndricas, um vetor geralmente é representado nas direções
,
e
. Já em cartesianas, usamos as direções
,
e
.
Sem mais informações sobre como D está definido, vamos supor que D possui componentes nessas direções. Por exemplo:
Em coordenadas cilíndricas:
E em cartesianas:
Passo 5
Para converter D de coordenadas cilíndricas para cartesianas, usamos as mesmas relações de conversão para os vetores:
Substituindo
:
Passo 6
Então, substituindo na expressão de D:
Em coordenadas cartesianas:
Portanto, as componentes cartesianas de D são
,
e
.
Passo 7
Agora, considerando que
,
e
, substituímos esses valores nas expressões de D em coordenadas cilíndricas e cartesianas conforme necessário. Se houver funções específicas para
,
e
em termos de
,
e
, substituímos esses valores para obter os componentes numéricas.
Resposta
Após realizar as conversões e substituições necessárias, o vetor D no ponto dado é:
Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas cartesianas:
(Substitua
,
e
com os valores específicos se forem fornecidos.)