(b) Calcule D no ponto onde rho=2, varphi=0,2 pi e z=5, expressando o resultado em componentes cilíndricos e cartesianos.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o vetor D num ponto específico, onde as coordenadas cilíndricas são rho=2, varphi=0, e z=5. Além disso, a questão pede para expressar o resultado tanto em coordenadas cilíndricas quanto em cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter coordenadas cilíndricas para cartesianas e como representar vetores nesses sistemas de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cilíndricas ( rho, varphi, z) para coordenadas cartesianas ( x, y, z). As fórmulas de conversão são:
x = rho cos(varphi) y = rho sin(varphi) z = z
Isso significa que, dado rho, varphi e z, podemos encontrar x e y usando essas expressões.

Passo 3

Aplicando as fórmulas de conversão com os valores fornecidos:
x = 2 cos(0) = 2 times 1 = 2 y = 2 sin(0) = 2 times 0 = 0 z = 5
Então, as coordenadas cartesianas correspondentes são (2, 0, 5).

Passo 4

Agora, precisamos expressar o vetor D em ambos os sistemas de coordenadas. Em coordenadas cilíndricas, um vetor geralmente é representado nas direções rho, varphi e z. Já em cartesianas, usamos as direções x, y e z.
Sem mais informações sobre como D está definido, vamos supor que D possui componentes nessas direções. Por exemplo:
Em coordenadas cilíndricas:
D = Drho rho + Dvarphi varphi + Dz z
E em cartesianas:
D = Dx x + Dy y + Dz z

Passo 5

Para converter D de coordenadas cilíndricas para cartesianas, usamos as mesmas relações de conversão para os vetores:
rho = cos(varphi) x + sin(varphi) y varphi = -sin(varphi) x + cos(varphi) y z = z
Substituindo varphi=0:
rho = cos(0) x + sin(0) y = x varphi = -sin(0) x + cos(0) y = y z = z

Passo 6

Então, substituindo na expressão de D:
Em coordenadas cartesianas:
D = Drho x + Dvarphi y + Dz z
Portanto, as componentes cartesianas de D são Dx = Drho, Dy = Dvarphi e Dz = Dz.

Passo 7

Agora, considerando que rho=2, varphi=0 e z=5, substituímos esses valores nas expressões de D em coordenadas cilíndricas e cartesianas conforme necessário. Se houver funções específicas para Drho, Dvarphi e Dz em termos de rho, varphi e z, substituímos esses valores para obter os componentes numéricas.

Resposta

Após realizar as conversões e substituições necessárias, o vetor D no ponto dado é:
Em coordenadas cilíndricas:
D = Drho rho + Dvarphi varphi + Dz z
Em coordenadas cartesianas:
D = Drho x + Dvarphi y + Dz z
(Substitua Drho, Dvarphi e Dz com os valores específicos se forem fornecidos.)

Exercícios relacionados