Resolva a integral:
E=integral-L^L rhoL d z(rho ap-z az)4 pi varepsilon0(rho^2+z^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular o campo elétrico E gerado por uma distribuição de carga ao longo de um fio finito que vai de -L a L. Esse problema está dentro do conteúdo de Eletromagnetismo, mais especificamente envolvendo integrais de campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e entender como componentes vetoriais se comportam em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão da integral:
E = integral-L^L rhoL , dz ( rho , ap - z , az )4 pi varepsilon0 ( rho^2 + z^2 )^3/2
Aqui, ρ<sub>L</sub> é a densidade linear de carga, z é a coordenada ao longo do fio, ρ é a distância radial do ponto onde estamos calculando o campo até o fio, 𝑎<sub>p</sub> é o vetor unitário na direção radial, e 𝑎<sub>z</sub> é o vetor unitário na direção do fio.

Passo 3

Vamos separar a integral em suas componentes vetoriais. Observamos que o campo elétrico E tem duas partes:
  1. Uma componente radial: rho , ap
  2. Uma componente ao longo do fio: -z , az
Assim, podemos escrever:

Passo 4

Vamos analisar cada uma das integrais separadamente.
Integral na direção radial ($ \vec{a}_p $):
Integral na direção do fio ($ \vec{a}_z $):
ap
Notamos que a segunda integral é uma função ímpar (pois envolve z) e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero (-L a L). Portanto, essa integral será zero, já que as contribuições positivas e negativas se cancelam.
Então, ficamos apenas com a componente radial.

Passo 5

Focando na integral restante:
Vamos simplificar os termos constantes:
integral-L^L rhoL , rho , dz4 pi varepsilon0 ( rho^2 + z^2 )^3/2
Para resolver a integral, fazemos uma substituição:
rhoL , rho4 pi varepsilon0 integral-L^L dz( rho^2 + z^2 )^3/2
Substituindo na integral:
A integral é uma integral conhecida, cujo resultado é:
Aplicando os limites de integração:
Substituindo de volta na expressão original:
Podemos simplificar u = zrho implies dz = rho , du , então:

Resposta

Finalmente, o campo elétrico E é dado por:

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