Resolva a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular o campo elétrico E gerado por uma distribuição de carga ao longo de um fio finito que vai de -L a L. Esse problema está dentro do conteúdo de Eletromagnetismo, mais especificamente envolvendo integrais de campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e entender como componentes vetoriais se comportam em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão da integral:
Aqui, ρ<sub>L</sub> é a densidade linear de carga, z é a coordenada ao longo do fio, ρ é a distância radial do ponto onde estamos calculando o campo até o fio, 𝑎<sub>p</sub> é o vetor unitário na direção radial, e 𝑎<sub>z</sub> é o vetor unitário na direção do fio.
Passo 3
Vamos separar a integral em suas componentes vetoriais. Observamos que o campo elétrico E tem duas partes:
- Uma componente radial:
- Uma componente ao longo do fio:
Assim, podemos escrever:
Passo 4
Vamos analisar cada uma das integrais separadamente.
Integral na direção radial ($ \vec{a}_p $):
Integral na direção do fio ($ \vec{a}_z $):
Notamos que a segunda integral é uma função ímpar (pois envolve z) e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero (-L a L). Portanto, essa integral será zero, já que as contribuições positivas e negativas se cancelam.
Então, ficamos apenas com a componente radial.
Passo 5
Focando na integral restante:
Vamos simplificar os termos constantes:
Para resolver a integral, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
A integral é uma integral conhecida, cujo resultado é:
Aplicando os limites de integração:
Substituindo de volta na expressão original:
Podemos simplificar
, então:
Resposta
Finalmente, o campo elétrico E é dado por: