(b) Quais são as relações matemáticas que existem entre o espaço real e o espaço recíproco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente entender quais são as relações matemáticas entre o espaço real e o espaço recíproco. Isso faz parte da matéria de Física do Estado Sólido ou Cristalografia, onde estudamos como os átomos se organizam nos cristais e como isso se relaciona com propriedades físicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como os vetores do espaço real se transformam no espaço recíproco e usar algumas fórmulas matemáticas chave para descrever essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço real e o espaço recíproco. O espaço real é o espaço onde estão as posições físicas dos átomos no cristal, definidos por vetores de rede como a, b e c. Já o espaço recíproco é um espaço matemático que facilita a análise de certas propriedades do cristal, como a difração de raios X.

Passo 3

A relação matemática fundamental entre o espaço real e o espaço recíproco está nos vetores da rede recíproca. Esses vetores, geralmente denotados por a*, b* e c*, são definidos de forma que satisfaçam as seguintes equações:
a cdot a^* = 1 e a cdot b^* = 0 e assim por diante para os outros vetores
Isso significa que cada vetor do espaço recíproco é ortogonal aos vetores do espaço real, exceto para o par correspondente.

Passo 4

Para calcular os vetores do espaço recíproco a partir dos vetores do espaço real, usamos a seguinte fórmula:
a^* = b times ca cdot (b times c)
E de forma similar para b* e c*. Aqui, × representa o produto vetorial e o produto escalar. Essa fórmula garante que os vetores do espaço recíproco satisfaçam as relações de ortogonalidade mencionadas.

Passo 5

Além disso, a relação entre os espaços também está presente na transformada de Fourier, que conecta as posições no espaço real com as frequências no espaço recíproco. Isso é fundamental para entender como padrões periódicos no espaço real geram picos no espaço recíproco, como visto em experimentos de difração.

Passo 6

Outra relação importante é que o volume da célula unitária no espaço real está inversamente relacionado ao volume da célula unitária no espaço recíproco:
V cdot V^* = (2pi)^3
Isso mostra que se o cristal no espaço real é muito grande, o espaço recíproco será muito pequeno, e vice-versa.

Resposta

As principais relações matemáticas entre o espaço real e o espaço recíproco envolvem a definição dos vetores de rede recíproca a partir dos vetores do espaço real através de produtos vetoriais e escalares, a ortogonalidade entre eles, a conexão via transformada de Fourier que relaciona posições e frequências, e a relação inversa entre os volumes das células unitárias nos dois espaços. Essas relações são fundamentais para analisar propriedades cristalinas como difração e simetria.

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