Em um bairro existem três empresas de TV a cabo e 20 mil residências. A empresa TA tem 2100 assinantes, a TB tem 1850 e a TC tem 2600 assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que são assinantes de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC e 30 que são assinantes das três empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual é a probabilidade de:
assinar com as empresas TA e TC são eventos dependentes, mutuamente exclusivos, ou nenhum dos dois? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um bairro com 20 mil residências e três empresas de TV a cabo: TA, TB e TC. Cada empresa tem um certo número de assinantes, e algumas residências assinam mais de uma empresa. Queremos descobrir se os eventos de uma residência assinar a TA e a TC são dependentes, mutuamente exclusivos ou nenhum dos dois. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade de eventos e como verificar essas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Total de residências: 20.000
  • Assinantes da TA: 2.100
  • Assinantes da TB: 1.850
  • Assinantes da TC: 2.600
  • Assinantes de TA e TB: 420
  • Assinantes de TA e TC: 120
  • Assinantes de TB e TC: 180
  • Assinantes das três empresas: 30

Passo 3

Vamos entender o que significa que dois eventos são mutuamente exclusivos ou dependentes.
  • Mutuamente exclusivos: Dois eventos são mutuamente exclusivos se não podem acontecer ao mesmo tempo. Ou seja, se uma residência assina a TA, ela não pode assinar a TC, e vice-versa.
  • Dependentes: Dois eventos são dependentes se a ocorrência de um afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Se eles não forem mutuamente exclusivos nem dependentes, então são independentes.

Passo 4

Vamos verificar primeiro se os eventos são mutuamente exclusivos. Para isso, vamos ver se há residências que assinam tanto a TA quanto a TC.
Segundo os dados, 120 residências assinam TA e TC. Isso significa que ambos os eventos podem ocorrer ao mesmo tempo. Portanto, NÃO são mutuamente exclusivos.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os eventos são dependentes ou independentes. Para isso, precisamos calcular as probabilidades:
  • P(TA): Probabilidade de uma residência assinar a TA.
  • P(TC): Probabilidade de uma residência assinar a TC.
  • P(TA e TC): Probabilidade de uma residência assinar tanto a TA quanto a TC.
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 6

Calculando P(TA):
P(TA) = Número de assinantes da TATotal de residências = 210020000 = 0,105 úê
Calculando P(TC):
P(TC) = Número de assinantes da TCTotal de residências = 260020000 = 0,13 úê
Calculando P(TA \cap TC):
P(TA cap TC) = Número de assinantes de TA e TCTotal de residências = 12020000 = 0,006 úê

Passo 7

Agora, vamos verificar se os eventos são independentes. Para eventos independentes, a seguinte condição deve ser verdadeira:
P(TA cap TC) = P(TA) times P(TC)
Vamos calcular o lado direito da equação:
P(TA) times P(TC) = 0,105 times 0,13 = 0,01365
Comparando com P(TA \cap TC) que é 0,006, vemos que:
0,006 neq 0,01365
Como os valores não são iguais, os eventos NÃO são independentes.

Passo 8

Como já vimos que os eventos não são mutuamente exclusivos e também não são independentes, concluímos que eles são dependentes. Isso porque a ocorrência de um evento (assinar a TA) afeta a probabilidade do outro evento (assinar a TC).

Resposta

Os eventos de assinar as empresas TA e TC são dependentes, pois a assinatura de uma afeta a probabilidade da assinatura da outra.

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