Em um bairro existem três empresas de TV a cabo e 20 mil residências. A empresa TA tem 2100 assinantes, a TB tem 1850 e a TC tem 2600 assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que são assinantes de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC e 30 que são assinantes das três empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual é a probabilidade de:
assinar com as empresas TA e TC são eventos dependentes, mutuamente exclusivos, ou nenhum dos dois? Justifique.
assinar com as empresas TA e TC são eventos dependentes, mutuamente exclusivos, ou nenhum dos dois? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um bairro com 20 mil residências e três empresas de TV a cabo: TA, TB e TC. Cada empresa tem um certo número de assinantes, e algumas residências assinam mais de uma empresa. Queremos descobrir se os eventos de uma residência assinar a TA e a TC são dependentes, mutuamente exclusivos ou nenhum dos dois. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade de eventos e como verificar essas relações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
- Total de residências: 20.000
- Assinantes da TA: 2.100
- Assinantes da TB: 1.850
- Assinantes da TC: 2.600
- Assinantes de TA e TB: 420
- Assinantes de TA e TC: 120
- Assinantes de TB e TC: 180
- Assinantes das três empresas: 30
Passo 3
Vamos entender o que significa que dois eventos são mutuamente exclusivos ou dependentes.
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Mutuamente exclusivos: Dois eventos são mutuamente exclusivos se não podem acontecer ao mesmo tempo. Ou seja, se uma residência assina a TA, ela não pode assinar a TC, e vice-versa.
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Dependentes: Dois eventos são dependentes se a ocorrência de um afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Se eles não forem mutuamente exclusivos nem dependentes, então são independentes.
Passo 4
Vamos verificar primeiro se os eventos são mutuamente exclusivos. Para isso, vamos ver se há residências que assinam tanto a TA quanto a TC.
Segundo os dados, 120 residências assinam TA e TC. Isso significa que ambos os eventos podem ocorrer ao mesmo tempo. Portanto, NÃO são mutuamente exclusivos.
Passo 5
Agora, vamos verificar se os eventos são dependentes ou independentes. Para isso, precisamos calcular as probabilidades:
- P(TA): Probabilidade de uma residência assinar a TA.
- P(TC): Probabilidade de uma residência assinar a TC.
- P(TA e TC): Probabilidade de uma residência assinar tanto a TA quanto a TC.
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 6
Calculando P(TA):
Calculando P(TC):
Calculando P(TA \cap TC):
Passo 7
Agora, vamos verificar se os eventos são independentes. Para eventos independentes, a seguinte condição deve ser verdadeira:
Vamos calcular o lado direito da equação:
Comparando com P(TA \cap TC) que é 0,006, vemos que:
Como os valores não são iguais, os eventos NÃO são independentes.
Passo 8
Como já vimos que os eventos não são mutuamente exclusivos e também não são independentes, concluímos que eles são dependentes. Isso porque a ocorrência de um evento (assinar a TA) afeta a probabilidade do outro evento (assinar a TC).
Resposta
Os eventos de assinar as empresas TA e TC são dependentes, pois a assinatura de uma afeta a probabilidade da assinatura da outra.