Uma bala de 5,00 g é disparada horizontalmente sobre um bloco de madeira de 1,20 kg que está em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a superfície e o bloco é igual a 0,20. A bala fica cravada na madeira, e observa-se que o bloco desliza por 0,310 m até parar. Qual era a velocidade inicial da bala?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bala de 5,00 g (gramas) que é disparada horizontalmente contra um bloco de madeira que pesa 1,20 kg (quilogramas). Esse bloco está parado sobre uma superfície horizontal, e o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície é de 0,20. Quando a bala acerta o bloco, ela fica presa nele, e juntos deslizam uma distância de 0,310 metros até parar. Nosso objetivo aqui é descobrir qual era a velocidade inicial da bala antes de acertar o bloco. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Conservação de Momento e Força de Atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A massa da bala é 5,00 g, o que é igual a 0,005 kg (já que 1 kg = 1000 g). A massa do bloco é 1,20 kg. A distância que o bloco e a bala deslizam juntos é 0,310 m, e o coeficiente de atrito cinético é 0,20.

Passo 3

Quando a bala atinge o bloco e fica presa nele, o sistema (bala + bloco) começa a se mover. A conservação do momento linear nos diz que o momento antes do impacto é igual ao momento após o impacto. A fórmula para o momento § é:
p = m cdot v
onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade.
Então, podemos escrever:
m
A bala tem um momento inicial porque está se movendo, e o bloco está parado, então seu momento inicial é apenas da bala. Após o impacto, a bala e o bloco estão juntos, então o momento final é a massa total vezes a velocidade após o impacto.

Passo 4

Vamos chamar a velocidade inicial da bala de $ v_{bala} $ e a velocidade após o impacto de $ v_{final} $. Assim, a conservação do momento fica:
vbala
Queremos encontrar $ v_{bala} $, então precisamos primeiro encontrar $ v_{final} $.

Passo 5

Para encontrar $ v_{final} $, vamos usar o fato de que o sistema desliza até parar devido à força de atrito. A força de atrito $ F_{atrito} $ é dada por:
vfinal
onde $ \mu $ é o coeficiente de atrito e $ N $ é a força normal. Como estamos numa superfície horizontal, $ N = (m_{bala} + m_{bloco}) \cdot g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $).

Passo 6

A força de atrito faz um trabalho que é igual à energia cinética inicial do sistema. A energia cinética inicial é:
Ek = 12 (mbala + mbloco) cdot vfinal^2
O trabalho feito pela força de atrito é:
W = Fatrito cdot d
Onde $ d $ é a distância que o sistema desliza antes de parar. Como toda a energia cinética é dissipada pelo atrito, temos:
d
Podemos simplificar cancelando $ (m_{bala} + m_{bloco}) $ dos dois lados:
12 (mbala + mbloco) cdot vfinal^2 = mu cdot (mbala + mbloco) cdot g cdot d

Passo 7

Agora, resolvemos para $ v_{final} $:
vfinal
Substituindo os valores:
vfinal = raiz2 cdot mu cdot g cdot d

Passo 8

Agora que temos $ v_{final} $, podemos voltar à equação da conservação do momento para encontrar $ v_{bala} $:
vfinal
Isolando $ v_{bala} $:
vbala
Substituindo os valores:
mbala cdot vbala = (mbala + mbloco) cdot vfinal

Resposta

A velocidade inicial da bala era aproximadamente $ 265 , m/s $.

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