A posição de uma partícula no instante t é dada por x=A sen omega t. Obter a velocidade e a aceleração da partícula como funções de t e de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a posição de uma partícula em função do tempo, dada por . O conteúdo principal aqui é o Movimento Harmônico Simples (MHS), que envolve conceitos de derivadas para encontrar velocidade e aceleração. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar em relação a v(t) = dxdt = A omega cos(omega t) .
A derivada de é . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos achar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Então, vamos derivar a(t) = dvdt = -A omega^2 sen(omega t) em relação a .
A derivada de é . Portanto:

Passo 4

Vamos agora expressar a velocidade e a acelera�o em termos de sen(omega t) = xA . Sabemos que . Podemos resolver para :
Substituindo isso nas expressões de v = A omega cos(omega t) = A omega raiz1 - sen^2(omega t) = A omega raiz1 - (xA)^2 = omega raizA^2 - x^2 e a = -A omega^2 sen(omega t) = -A omega^2 (xA) = -omega^2 x :
Para a velocidade:
Para a aceleração:

Resposta

A velocidade da partícula é ou, em função de , . A aceleração é ou, em função de , .

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