A posição de uma partícula no instante
é dada por
. Obter a velocidade e a aceleração da partícula como funções de
e de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a posição de uma partícula em função do tempo, dada por . O conteúdo principal aqui é o Movimento Harmônico Simples (MHS), que envolve conceitos de derivadas para encontrar velocidade e aceleração. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar em relação a
.
A derivada de é
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos achar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Então, vamos derivar
em relação a
.
A derivada de
é . Portanto:
Passo 4
Vamos agora expressar a velocidade e a acelera�o em termos de
. Sabemos que . Podemos resolver para :
Substituindo isso nas expressões de
e
:
Para a velocidade:
Para a aceleração:
Resposta
A velocidade da partícula é
ou, em função de
,
. A aceleração é ou, em função de
,
.