Uma barra homogênea de massa e comprimento oscila com um pêndulo em torno de um ponto situado a uma distância de sua extremidade. Calcule a frequência de oscilação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra homogênea com massa e comprimento que está oscilando como um pêndulo em torno de um ponto situado a uma distância de uma das suas extremidades. Nosso objetivo é calcular a frequência dessas oscilações. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de física como momento de inércia e a fórmula da frequência para pêndulos físicos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro de massa da barra. Como a barra é homogênea, o centro de massa está exatamente no meio dela. Assim, a distância do centro de massa até a extremidade é .
Passo 3
Agora, precisamos calcular a distância efetiva () entre o ponto de suspensão (onde a barra está oscilando) e o centro de massa. Já que o ponto de suspensão está a uma distância da extremidade, a distância total entre o ponto de suspensão e o centro de massa será:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o momento de inércia () da barra em relação ao ponto de suspensão. Sabemos que o momento de inércia de uma barra em relação ao seu centro de massa é:
Mas como estamos pivotando a barra em um ponto que não é o centro de massa, usamos o Teorema de Steiner (ou Teorema do Eixo Paralelo), que nos diz:
Substituindo :
Passo 5
Agora, vamos utilizar a fórmula da frequência de oscilação para um pêndulo físico:
Onde:
é a aceleração da gravidade ().
Passo 6
Substituímos e na fórmula da frequência:
Perceba que a massa M cancelará nos termos, simplificando a expressão.
Passo 7
Simplificando a expressão:
f = 12pi raizg ( ell2 - d )112 ell^2 + ( ell2 - d )^2
Esse é o resultado final que nos dá a frequência de oscilação da barra como um pêndulo físico.
Resposta
A frequência de oscilação da barra é dada por:
f = 12pi raizg ( ell2 - d )112 ell^2 + ( ell2 - d )^2