Uma barra homogênea de massa M e comprimento ell oscila com um pêndulo em torno de um ponto situado a uma distância d de sua extremidade. Calcule a frequência de oscilação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra homogênea com massa M e comprimento ell que está oscilando como um pêndulo em torno de um ponto situado a uma distância d de uma das suas extremidades. Nosso objetivo é calcular a frequência dessas oscilações. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de física como momento de inércia e a fórmula da frequência para pêndulos físicos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro de massa da barra. Como a barra é homogênea, o centro de massa está exatamente no meio dela. Assim, a distância do centro de massa até a extremidade é ell2.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância efetiva ( Leff) entre o ponto de suspensão (onde a barra está oscilando) e o centro de massa. Já que o ponto de suspensão está a uma distância d da extremidade, a distância total entre o ponto de suspensão e o centro de massa será:
Leff = ell2 - d

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o momento de inércia ( I) da barra em relação ao ponto de suspensão. Sabemos que o momento de inércia de uma barra em relação ao seu centro de massa é:
Icm = 112 M ell^2
Mas como estamos pivotando a barra em um ponto que não é o centro de massa, usamos o Teorema de Steiner (ou Teorema do Eixo Paralelo), que nos diz:
I = Icm + M Leff^2
Substituindo Icm:
I = 112 M ell^2 + M ( ell2 - d )^2

Passo 5

Agora, vamos utilizar a fórmula da frequência de oscilação para um pêndulo físico:
f = 12pi raizM g LeffI
Onde:
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,8 , m/s^2).

Passo 6

Substituímos I e Leff na fórmula da frequência:
f = 12pi raizM g ( ell2 - d )112 M ell^2 + M ( ell2 - d )^2
Perceba que a massa M cancelará nos termos, simplificando a expressão.

Passo 7

Simplificando a expressão:
f = 12pi raizg ( ell2 - d )112 ell^2 + ( ell2 - d )^2
Esse é o resultado final que nos dá a frequência de oscilação da barra como um pêndulo físico.

Resposta

A frequência de oscilação da barra é dada por:
f = 12pi raizg ( ell2 - d )112 ell^2 + ( ell2 - d )^2

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