Muitas molas reais podem ser esticadas mais facilmente do que comprimidas. Podemos tratar este problema usando valores diferentes para a constante elástica da mola para quando x<0 e para x>0.
Considere que para uma determinada mola temos que F=-k x para x>0 e F=-2 k x para x<0. Um corpo de massa m é preso a esta mola e o conjunto é colocado horizontalmente sobre uma superfície sem atrito. O corpo é deslocado de forma estender a mola de x=A e então solto com velocidade nula.
Descreva o movimento do corpo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de um corpo preso a uma mola real que tem comportamentos diferentes quando esticada e comprimida. A gente vai usar conceitos de mecânica, especificamente de molas e movimentos harmônicos. Para resolver, vamos precisar entender a Lei de Hooke e como diferentes constantes elásticas afetam o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Hooke, que diz que a força exercida por uma mola é proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio. Matemáticamente, é expressa por:
F = -k x
onde:
- $ F $ é a força da mola,
- $ k $ é a constante elástica da mola,
- $ x $ é o deslocamento da posição de equilíbrio.
No nosso caso, a mola tem comportamentos diferentes:
  • Para $ x > 0 $ (quando a mola está esticada), $ F = -k x $.
  • Para $ x < 0 $ (quando a mola está comprimida), $ F = -2k x $.
Isso significa que a mola é mais rígida quando comprimida do que quando esticada.

Passo 3

O corpo de massa $ m $ está preso a essa mola e colocado sobre uma superfície sem atrito. Ele é deslocado até $ x = A $ (mola esticada) e solto com velocidade inicial zero. Queremos descrever o movimento desse corpo.
Como não há atrito, a única força atuando no corpo é a força da mola. A partir da segunda Lei de Newton:
m
onde $ a $ é a aceleração do corpo.

Passo 4

Vamos analisar o movimento quando $ x > 0 $ (mola esticada):
x > 0
Então, temos a equação diferencial:
F = -k x = m a = m d^2xdt^2
Essa é a equação de um movimento harmônico simples (MHS), cuja solução geral é uma função senoidal:
m d^2xdt^2 + k x = 0

Passo 5

Agora, vamos ver quando $ x < 0 $ (mola comprimida):
x < 0
A equação diferencial fica:
F = -2k x = m a = m d^2xdt^2
Essa também é uma equação de MHS, mas com uma frequência diferente:
m d^2xdt^2 + 2k x = 0

Passo 6

Como a mola tem constantes diferentes para esticada e comprimida, o movimento não será um simples seno ou cosseno uniforme. Quando a mola está esticada ($ x > 0 $), a frequência é $ \omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}} x > 0 á x < 0 $), a frequência é $ \omega_2 = \sqrt{\frac{2k}{m}} $.
Isso faz com que o movimento seja assimétrico, com o período de oscilação sendo diferente nas fases de extensão e compressão.

Passo 7

Para descrever completamente o movimento, consideraríamos a continuidade da posição e velocidade no ponto $ x = 0 $. Isso envolve resolver as constantes $ A $ e $ B $ nas soluções das regiões $ x > 0 $ e $ x < 0 $, garantindo que a função e sua derivada sejam contínuas.

Resposta

O corpo realiza um movimento harmônico simples assimétrico, alternando entre oscilações com frequência $ \sqrt{\frac{k}{m}} $ quando a mola está esticada e $ \sqrt{\frac{2k}{m}} $ quando está comprimida. Esse comportamento resulta em um ciclo de oscilação onde o corpo leva diferentes tempos para estender e comprimir a mola, devido às constantes elásticas distintas nas duas direções.

Exercícios relacionados