Muitas molas reais podem ser esticadas mais facilmente do que comprimidas. Podemos tratar este problema usando valores diferentes para a constante elástica da mola para quando
e para
.
Considere que para uma determinada mola temos que
para
e
para
. Um corpo de massa
é preso a esta mola e o conjunto é colocado horizontalmente sobre uma superfície sem atrito. O corpo é deslocado de forma estender a mola de
e então solto com velocidade nula.
Descreva o movimento do corpo.
Considere que para uma determinada mola temos que
Descreva o movimento do corpo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de um corpo preso a uma mola real que tem comportamentos diferentes quando esticada e comprimida. A gente vai usar conceitos de mecânica, especificamente de molas e movimentos harmônicos. Para resolver, vamos precisar entender a Lei de Hooke e como diferentes constantes elásticas afetam o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Hooke, que diz que a força exercida por uma mola é proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio. Matemáticamente, é expressa por:
onde:
- $ F $ é a força da mola,
- $ k $ é a constante elástica da mola,
- $ x $ é o deslocamento da posição de equilíbrio.
No nosso caso, a mola tem comportamentos diferentes:
- Para $ x > 0 $ (quando a mola está esticada), $ F = -k x $.
- Para $ x < 0 $ (quando a mola está comprimida), $ F = -2k x $.
Isso significa que a mola é mais rígida quando comprimida do que quando esticada.
Passo 3
O corpo de massa $ m $ está preso a essa mola e colocado sobre uma superfície sem atrito. Ele é deslocado até $ x = A $ (mola esticada) e solto com velocidade inicial zero. Queremos descrever o movimento desse corpo.
Como não há atrito, a única força atuando no corpo é a força da mola. A partir da segunda Lei de Newton:
onde $ a $ é a aceleração do corpo.
Passo 4
Vamos analisar o movimento quando $ x > 0 $ (mola esticada):
Então, temos a equação diferencial:
Essa é a equação de um movimento harmônico simples (MHS), cuja solução geral é uma função senoidal:
Passo 5
Agora, vamos ver quando $ x < 0 $ (mola comprimida):
A equação diferencial fica:
Essa também é uma equação de MHS, mas com uma frequência diferente:
Passo 6
Como a mola tem constantes diferentes para esticada e comprimida, o movimento não será um simples seno ou cosseno uniforme. Quando a mola está esticada ($ x > 0 $), a frequência é $ \omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}
x < 0 $), a frequência é $ \omega_2 = \sqrt{\frac{2k}{m}} $.
Isso faz com que o movimento seja assimétrico, com o período de oscilação sendo diferente nas fases de extensão e compressão.
Passo 7
Para descrever completamente o movimento, consideraríamos a continuidade da posição e velocidade no ponto $ x = 0 $. Isso envolve resolver as constantes $ A $ e $ B $ nas soluções das regiões $ x > 0 $ e $ x < 0 $, garantindo que a função e sua derivada sejam contínuas.
Resposta
O corpo realiza um movimento harmônico simples assimétrico, alternando entre oscilações com frequência $ \sqrt{\frac{k}{m}} $ quando a mola está esticada e $ \sqrt{\frac{2k}{m}} $ quando está comprimida. Esse comportamento resulta em um ciclo de oscilação onde o corpo leva diferentes tempos para estender e comprimir a mola, devido às constantes elásticas distintas nas duas direções.