Baseado em estudos anteriores, a probabilidade de um certo componente elétrico apresentar defeito é de 0,05 . Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção (contínua). Em uma amostra de oito componentes, quais são as probabilidades de se encontrar: No máximo 2 dois defeituosos

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente sabe que a probabilidade de um componente elétrico ter defeito é 0,05 (ou 5%). A pergunta é: em uma amostra de 8 componentes, qual a chance de encontrar no máximo 2 defeituosos? Vamos usar o conteúdo de Probabilidade Binomial pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da probabilidade binomial, que é usada quando temos uma sequência de testes independentes com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso). A fórmula é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número total de experimentos (nesse caso, 8 componentes).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (defeituosos).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada experimento (0,05).
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 3

A gente precisa calcular a probabilidade de ter no máximo 2 defeituosos, ou seja, $ P(X \leq 2) $. Isso inclui:
P(X <= 2)
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.

Passo 4

Calculando $ P(X = 0) $:
P(X = 0)
Simplificando:
P(X = 0) = binom80 times 0,05^0 times (1 - 0,05)^8
binom80 = 1
0,05^0 = 1
Então,
(0,95)^8 approx 0,6634

Passo 5

Calculando $ P(X = 1) $:
P(X = 1)
Simplificando:
P(X = 1) = binom81 times 0,05^1 times (1 - 0,05)^7
binom81 = 8
0,05^1 = 0,05
Então,
(0,95)^7 approx 0,6983

Passo 6

Calculando $ P(X = 2) $:
P(X = 2)
Simplificando:
P(X = 2) = binom82 times 0,05^2 times (1 - 0,05)^6
binom82 = 28
0,05^2 = 0,0025
Então,
(0,95)^6 approx 0,7351

Passo 7

Agora, somamos as probabilidades encontradas:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,6634 + 0,2793 + 0,0515 approx 0,9942

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo 2 componentes defeituosos em uma amostra de 8 é aproximadamente 99,42%.

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