A oficina de manutenção de uma indústria pode atender até 4 casos de avarias de máquinas por dia. O número de avarias diárias segue distribuição de Poisson de média 3. Se houver mais de 4 avarias a máquina tem que esperar até surgir uma vaga na oficina. Qual a probabilidade de que em um dia a oficina não consiga atender todas máquinas avariadas?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. A oficina de manutenção consegue atender até 4 avarias de máquinas por dia. O número de avarias que ocorrem diariamente segue uma distribuição de Poisson com média 3. Queremos descobrir a probabilidade de, em um dia qualquer, a oficina não conseguir atender todas as máquinas avariadas, ou seja, que haja mais de 4 avarias.
Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Poisson, que é ideal para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos ocorrem de forma independente e com uma taxa média conhecida.

Passo 2

A distribuição de Poisson é definida pela seguinte fórmula:
P(X = k) = e^-lambda cdot lambda^kk!
Onde:
  • $ \lambda $ é a média de ocorrências (neste caso, 3 avarias por dia),
  • $ k $ é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que mais de 4 avarias ocorram em um dia, ou seja, $ P(X > 4) $. Para isso, podemos usar a relação:
P(X > 4)
Isso significa que vamos calcular a probabilidade de ter 4 ou menos avarias e, em seguida, subtrair esse valor de 1 para encontrar a probabilidade de ter mais de 4 avarias.

Passo 4

Vamos calcular $ P(X \leq 4) $, que é a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2, 3 ou 4 avarias:
P(X <= 4)

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição de Poisson:
  1. Para $ k = 0 $:
    k = 0
  2. Para $ k = 1 $:
    P(X = 0) = e^-3 cdot 3^00! = e^-3 cdot 1 / 1 = e^-3 approx 0,0498
  3. Para $ k = 2 $:
    k = 1
  4. Para $ k = 3 $:
    P(X = 1) = e^-3 cdot 3^11! = e^-3 cdot 3 / 1 = 3e^-3 approx 0,1494
  5. Para $ k = 4 $:
    k = 2

Passo 6

Vamos somar todas essas probabilidades para encontrar $ P(X \leq 4) $:
P(X <= 4)

Passo 7

Agora, calculamos $ P(X > 4) $:
P(X > 4)

Resposta

A probabilidade de que, em um dia, a oficina não consiga atender todas as máquinas avariadas é aproximadamente 0,1845 ou 18,45%.

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