A oficina de manutenção de uma indústria pode atender até 4 casos de avarias de máquinas por dia. O número de avarias diárias segue distribuição de Poisson de média 3. Se houver mais de 4 avarias a máquina tem que esperar até surgir uma vaga na oficina. Qual a probabilidade de que em um dia a oficina não consiga atender todas máquinas avariadas?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. A oficina de manutenção consegue atender até 4 avarias de máquinas por dia. O número de avarias que ocorrem diariamente segue uma distribuição de Poisson com média 3. Queremos descobrir a probabilidade de, em um dia qualquer, a oficina não conseguir atender todas as máquinas avariadas, ou seja, que haja mais de 4 avarias.
Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Poisson, que é ideal para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos ocorrem de forma independente e com uma taxa média conhecida.
Passo 2
A distribuição de Poisson é definida pela seguinte fórmula:
Onde:
- $ \lambda $ é a média de ocorrências (neste caso, 3 avarias por dia),
- $ k $ é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade,
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de que mais de 4 avarias ocorram em um dia, ou seja, $ P(X > 4) $. Para isso, podemos usar a relação:
Isso significa que vamos calcular a probabilidade de ter 4 ou menos avarias e, em seguida, subtrair esse valor de 1 para encontrar a probabilidade de ter mais de 4 avarias.
Passo 4
Vamos calcular $ P(X \leq 4) $, que é a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2, 3 ou 4 avarias:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição de Poisson:
-
Para $ k = 0 $:
-
Para $ k = 1 $:
-
Para $ k = 2 $:
-
Para $ k = 3 $:
-
Para $ k = 4 $:
Passo 6
Vamos somar todas essas probabilidades para encontrar $ P(X \leq 4) $:
Passo 7
Agora, calculamos $ P(X > 4) $:
Resposta
A probabilidade de que, em um dia, a oficina não consiga atender todas as máquinas avariadas é aproximadamente 0,1845 ou 18,45%.