Suponha que um comprador queira decidir se vai aceitar ou não um lote de itens. Para isso, ele retira uma amostra de tamanho n=20 do lote, e conta o número X de defeituosos. Qual a probabilidade de aceitar um lote quando: p=0,05 e a regra é aceitar o lote se X <= 4

Passo 1

Aqui, a gente tem um problema de probabilidade relacionado à distribuição binomial. O comprador vai inspecionar uma amostra de tamanho n = 20 de um lote e quer saber a chance de aceitar o lote. A regra é aceitar se o número de itens defeituosos, X, for menor ou igual a 4. A probabilidade de cada item ser defeituoso é p = 0,05. Vamos calcular a probabilidade de X <= 4.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou falha). No nosso caso, cada item pode ser defeituoso (sucesso) ou não (falha).
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n - k
onde:
  • n é o número de tentativas (20),
  • k é o número de sucessos desejados (número de defeituosos),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,05).

Passo 3

Queremos calcular a probabilidade de aceitar o lote, ou seja, P(X <= 4). Isso significa somar as probabilidades de ter 0, 1, 2, 3 ou 4 defeituosos.
Então:
P(X <= 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula binomial.
  1. Para X = 0:
P(X=0) = binom200 (0,05)^0 (0,95)^20 = 1 times 1 times 0,95^20
  1. Para X = 1:
P(X=1) = binom201 (0,05)^1 (0,95)^19 = 20 times 0,05 times 0,95^19
  1. Para X = 2:
P(X=2) = binom202 (0,05)^2 (0,95)^18 = 190 times 0,0025 times 0,95^18
  1. Para X = 3:
P(X=3) = binom203 (0,05)^3 (0,95)^17 = 1140 times 0,000125 times 0,95^17
  1. Para X = 4:
P(X=4) = binom204 (0,05)^4 (0,95)^16 = 4845 times 0,00000625 times 0,95^16

Passo 5

Agora, vamos calcular cada termo:
  1. P(X=0):
0,95^20 approx 0,3585
  1. P(X=1):
20 times 0,05 times 0,95^19 approx 20 times 0,05 times 0,3774 approx 0,3774
  1. P(X=2):
190 times 0,0025 times 0,95^18 approx 190 times 0,0025 times 0,3968 approx 0,1898
  1. P(X=3):
1140 times 0,000125 times 0,95^17 approx 1140 times 0,000125 times 0,4173 approx 0,0594
  1. P(X=4):
4845 times 0,00000625 times 0,95^16 approx 4845 times 0,00000625 times 0,4390 approx 0,0132

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades:
P(X <= 4) approx 0,3585 + 0,3774 + 0,1898 + 0,0594 + 0,0132 approx 0,9983

Resposta

A probabilidade de aceitar o lote é aproximadamente 99,83%.

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