Bianca está preparando saquinhos com balas e pirulitos para os convidados da festa de aniversário de sua filha. Cada saquinho irá conter 4 balas e 2 pirulitos. Para fazer os saquinhos, ela dispõe de 6 sabores diferentes de balas (limão, morango, framboesa, caramelo, canela e tutti-frutti) e 4 sabores diferentes de pirulito (chocolate, uva, cereja e framboesa). Determine quantos tipos diferentes de saquinhos Bianca pode fazer se ela não quer que haja balas de um mesmo sabor nem pirulitos de um mesmo sabor em cada saquinho.

Passo 1

Vamos resumir o que a Bianca quer fazer. Ela vai preparar saquinhos que contêm 4 balas e 2 pirulitos. Para isso, ela tem 6 sabores diferentes de balas (limão, morango, framboesa, caramelo, canela e tutti-frutti) e 4 sabores diferentes de pirulito (chocolate, uva, cereja e framboesa). O objetivo é descobrir quantos tipos diferentes de saquinhos ela pode fazer, sem repetir sabores de balas ou de pirulitos dentro do mesmo saquinho.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas balas. Bianca precisa escolher 4 sabores diferentes entre os 6 disponíveis. Para isso, usamos o conceito de combinação, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos selecionar itens sem importar a ordem.
A fórmula de combinação é:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o número total de itens.
  • $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.
  • $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 3

Aplicando a fórmula para as balas:
C(6, 4) = 6!4! times (6 - 4)! = 6!4! times 2!
Calculando os fatoriais:
  • $ 6! = 720 $
  • $ 4! = 24 $
  • $ 2! = 2 $
Então:
6! = 720
Portanto, existem 15 maneiras de escolher 4 sabores diferentes de balas.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os pirulitos. Bianca precisa escolher 2 sabores diferentes entre os 4 disponíveis.
Usando a fórmula de combinação novamente:
C(4, 2) = 4!2! times (4 - 2)! = 4!2! times 2!
Calculando os fatoriais:
  • $ 4! = 24 $
  • $ 2! = 2 $
Então:
4! = 24
Portanto, existem 6 maneiras de escolher 2 sabores diferentes de pirulitos.

Passo 5

Finalmente, para encontrar o número total de tipos diferentes de saquinhos que a Bianca pode fazer, multiplicamos as maneiras de escolher as balas pelas maneiras de escolher os pirulitos:
15 (balas) times 6 (pirulitos) = 90

Resposta

A Bianca pode fazer 90 tipos diferentes de saquinhos.

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