Os biólogos observaram que, em condições ideais, o número de bactérias Q(t) em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo t, de acordo com a lei Q(t) = Q0.ekt, sendo k > 0 uma constante que depende da natureza das bactérias; o número irracional e vale aproximadamente 2,718 e Q0 é a quantidade inicial de bactérias. Se uma cultura tem inicialmente 6000 bactérias e, 20 min depois, aumentou para 12000, quantas bactérias estarão presentes depois de 1 hora?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de bactérias em uma cultura que segue um crescimento exponencial. O que precisamos usar aqui é a função exponencial para modelar esse crescimento. Vamos precisar da fórmula $ Q(t) = Q_0 \cdot e^{kt} $, onde:
- $ Q(t) $ é o número de bactérias no tempo $ t $,
- $ Q_0 $ é a quantidade inicial de bactérias,
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718),
- $ k $ é uma constante positiva que depende das características das bactérias.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que já temos:
- Inicialmente ($ t = 0 $), a quantidade de bactérias é $ Q_0 = 6000 $.
- Após 20 minutos ($ t = 20 $), a quantidade de bactérias é $ Q(20) = 12000 $.
Queremos descobrir quantas bactérias haverá após 1 hora ($ t = 60 $ minutos).
Passo 3
Vamos usar a fórmula do crescimento exponencial para encontrar a constante $ k $. Sabemos que:
Substituindo os valores que temos no momento $ t = 20 $:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ k $. Primeiro, dividimos ambos os lados por 6000:
Passo 5
Para resolver para $ k $, tiramos o logaritmo natural (ln) de ambos os lados. O logaritmo natural é a operação inversa da exponenciação com base $ e $:
Calculando $ \ln(2) $ (que é aproximadamente 0,6931):
Passo 6
Agora que encontramos $ k $, podemos usar a fórmula original para encontrar a quantidade de bactérias após 60 minutos:
Passo 7
Vamos calcular o expoente primeiro:
Então:
Passo 8
Calculando $ e^{2,0796} $ (usando uma calculadora ou tabela de valores exponenciais):
Portanto:
Resposta
Depois de 1 hora, estarão presentes aproximadamente 47.988 bactérias na cultura.